Question

Dado o numero complexo $z = 2(cos\pi/3 + i seno\pi/3)$ , determine o valor de $z^6 - 2z^3$. Porfavor Ajudem!

Answer 1

Resposta: z⁶ - 2z³ = 80

Explicação passo a passo:

sendo n um número qualquer e @ o ângulo determinado, a fórmula da potência do complexo é: z^n = |z|^n * (cis @*n).



substituindo então n por 6 e @ por pi/3 ( o mesmo que 30°, temos:

z⁶=2⁶*[(cos 30° + i sen30°)*6]

z⁶=64*(cos180° + i sen180°

z⁶=64*(1+0i)

z⁶=64

fazendo o mesmo com z³, temos:

z³=2³*[(cos30°+ i sen30°)*3]

z³=8*(cos90° + i sen90°)

z³=8*(-1+0i)

z³=-8

Portanto, z⁶-2z³ é igual a 64-2*(-8) => 64+16 => 80

Answer 2

O valor da expressão  $z^6 - 2z^3$  é igual a 80.

Potenciação de números complexos

Dado um número complexo qualquer z na sua forma polar:

z = |z|.[cos(α) + i.sen(α)]

Então para elevarmos z a uma potência n, aplicamos a seguinte fórmula de Moivre:

$z^n = |z|^n$.[cos(n.α) + i.sen(n.α)]

Então, temos o seguinte número complexo:

z = 2[cos(π/3) + i.sen(π/3)]

Portanto, aplicamos a fórmula de Moivre e obtemos:

$z^6 = 2^6$.[cos(6.π/3) + i.sen(6.π/3)]

$z^6$ = 64.[cos(2π) + i.sen(2π)]

$z^6$ = 64

z³ = 2³[cos(3.π/3) + i.sen(3.π/3)]

z³ = 8.[cos(π) + i.sen(π)]

z³ = -8

Portanto:

$z^6 - 2z^3$

= 64 - 2.(-8)

= 64 + 16

$z^6 - 2z^3$ = 80

Para entender mais sobre números complexos, acesse o link:

https://brainly.com.br/tarefa/22693420

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