Question

a figura a seguir mostra os gráficos de duas funções, f e g.

a) usando a forma fatorada, obtenha a lei que define f.
b) qual é a lei que define g?
c) qual é a ordenada do ponto P?

Answer 1

a) Temos que f é uma equação do segundo grau. Então a equação que descreve a parábola é da forma y = ax² + bx + c.

Perceba que f passa pelos pontos (1,0), (3,0) e (2,1), sendo o último ponto citado o vértice da parábola.

Então, podemos dizer que:

$2 = -\frac{b}{2a}$

b = -4a.

Com os três pontos citados podemos formar o seguinte sistema:

{a + b + c = 0

{9a + 3b + c = 0

{4a + 2b + c = 1

Pegando as duas últimas equações e substituindo o valor de b = -4a:

{-3a + c = 0

{-4a + c = 1

Multiplicando a segunda equação por -1:

{-3a + c = 0

{4a - c = -1

Logo, a = -1, b = 4 e c = -3.

Portanto, a lei que define f é y = -x² + 4x - 3.

b) Como g é uma reta, então a equação é da forma y = ax + b.

Perceba que o ponto (7/2, y') pertence à parábola.

Assim,

$y' = -(\frac{7}{2})^2 + 4(\frac{7}{2}) - 3$

$y' = -\frac{49}{4} + 14 - 3$

$y' = -\frac{5}{4}$

Com os pontos (2,0) e (7/2,-5,4) podemos montar o seguinte sistema:

{2a + b = 0

{7a/2 + b = -5/4

Multiplicando a primeira equação por -1:

{-2a - b = 0

{7a/2 + b = -5/4

Portanto, a = -5/6 e b = 5/3 ∴ y = -5x/6 + 5/3.

c) A ordenada do ponto P é 5/3.

Answer 2

Resposta:

a) Temos que f é uma equação do segundo grau. Então a equação que descreve a parábola é da forma y = ax² + bx + c.

Perceba que f passa pelos pontos (1,0), (3,0) e (2,1), sendo o último ponto citado o vértice da parábola.

Então, podemos dizer que:

b = -4a.

Com os três pontos citados podemos formar o seguinte sistema:

{a + b + c = 0

{9a + 3b + c = 0

{4a + 2b + c = 1

Pegando as duas últimas equações e substituindo o valor de b = -4a:

{-3a + c = 0

{-4a + c = 1

Multiplicando a segunda equação por -1:

{-3a + c = 0

{4a - c = -1

Logo, a = -1, b = 4 e c = -3.

Portanto, a lei que define f é y = -x² + 4x - 3.

b) Como g é uma reta, então a equação é da forma y = ax + b.

Perceba que o ponto (7/2, y') pertence à parábola.

Assim,

Com os pontos (2,0) e (7/2,-5,4) podemos montar o seguinte sistema:

{2a + b = 0

{7a/2 + b = -5/4

Multiplicando a primeira equação por -1:

{-2a - b = 0

{7a/2 + b = -5/4

Portanto, a = -5/6 e b = 5/3 ∴ y = -5x/6 + 5/3.

c) A ordenada do ponto P é 5/3.