Question

11No intervalo [o,2;r], as raízes da equação 4 sen3 x -8 sen2 x+5 semr -1=0 têm por soma o número:ABCDE5 KT"K5 K~T1KT"3 K 2

Answer 1

Sendo 4sen³(x) - 8sen²(x) + 5sen(x) - 1 = 0, vamos considerar que:

sen(x) = y

Assim, temos 4y³ - 8y² + 5y - 1 = 0.

Perceba que y = 1 é uma raiz do polinômio acima.

Utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini para abaixar o grau do polinômio:

1 | 4 -8 5 -1|

|4 -4 1 | 0

Assim, podemos dizer que:

4y³ - 8y² + 5y² - 1 = (y - 1)(4y² - 4y + 1)

Para encontrar as outras duas raízes, utilizaremos a fórmula de Bháskara em 4y² - 4y + 1 = 0:

Δ = 4² - 4.4.1

Δ = 16 - 16

Δ = 0

Como Δ = 0, então as duas raízes são iguais.

$y = \frac{4}{8}$

$y = \frac{1}{2}$

Logo, no intervalo [0,2π] temos que:

sen(x) = 1 ⇔ $x = \frac{\pi}{2}$

$sen(x) = \frac{1}{2}$ ⇔ $x = \frac{\pi}{6}$ ou $x = \frac{5\pi}{6}$

Portanto, a soma das raízes é igual a:

$S = \frac{\pi}{2}+ \frac{\pi}{6}+ \frac{5\pi}{6}$

$S = \frac{\pi}{2} + \pi$

$S = \frac{3\pi}{2}$

Alternativa correta: letra e).