Question

determine a matriz inversivel de b=$\left[\begin{array}{ccc}-1&2&1\\2&3&5\\1&-1&2\end{array}\right]$

Answer 1

1) Encontrar o determinante da matriz $\mathbf{B}$:

A matriz $\mathbf{B}$ só será invertível se o seu determinante for diferente de zero. Calculando o determinante, temos

$\det\left(\mathbf{B} \right )=\det\left[ \begin{array}{ccc} -1&2&1\\ 2&3&5\\ 1&-1&2 \end{array} \right ]\\ \\ \\ \det\left(\mathbf{B} \right )=\left(-1 \right )\cdot 3 \cdot 2+2 \cdot 5 \cdot 1+1 \cdot 2 \cdot \left(-1 \right )\\ -1\cdot 3 \cdot 1-\left(-1 \right )\cdot 5 \cdot \left(-1 \right )-2 \cdot 2 \cdot 2\\ \\ \det\left(\mathbf{B} \right )=-6+10-2\\ -3-5-8\\ \\ \det\left(\mathbf{B} \right )=2-16\\ \\ \det\left(\mathbf{B} \right )=-14 \neq 0$


2) Encontrar a matriz adjunta (ou matriz cofatora transposta) de $\mathbf{B}$:

Cada elemento $b_{ij}$ da matriz $\mathbf{B}$ possui um cofator $c_{ij}$ correspondente. Este cofator é igual a $\left(-1 \right )^{i+j}$ vezes o determinante menor da matriz que resta ao se remover a linha $i$ e a coluna $j$ de $\mathbf{B}$.


Então vamos calcular os cofatores dos elementos de $\mathbf{B}$:

$\bullet\;\;c_{11}=\left(-1 \right )^{1+1}\cdot \det\left[ \begin{array}{cc} 3&5\\ -1&2 \end{array} \right ]\\ \\ c_{11}=1\cdot \left[\,3\cdot 2-\left(-1 \right )\cdot 5\, \right ]\\ \\ c_{11}=1\cdot \left[\,6+5\, \right ]\\ \\ c_{11}=11$


$\bullet\;\;c_{12}=\left(-1 \right )^{1+2}\cdot \det\left[ \begin{array}{cc} 2&5\\ 1&2 \end{array} \right ]\\ \\ c_{12}=-1\cdot \left[\,2\cdot 2-1\cdot 5\, \right ]\\ \\ c_{12}=-1\cdot \left[\,4-5\, \right ]\\ \\ c_{12}=1$


$\bullet\;\;c_{13}=\left(-1 \right )^{1+3}\cdot \det\left[ \begin{array}{cc} 2&3\\ 1&-1 \end{array} \right ]\\ \\ c_{13}=1\cdot \left[\,2\cdot \left(-1 \right )-1\cdot 3\, \right ]\\ \\ c_{13}=1\cdot \left[\,-2-3\, \right ]\\ \\ c_{13}=-5$


$\bullet\;\;c_{21}=\left(-1 \right )^{2+1}\cdot \det\left[ \begin{array}{cc} 2&1\\ -1&2 \end{array} \right ]\\ \\ c_{21}=-1\cdot \left[\,2\cdot 2-\left(-1 \right )\cdot 1\, \right ]\\ \\ c_{21}=-1\cdot \left[\,4+1\, \right ]\\ \\ c_{21}=-5$


$\bullet\;\;c_{22}=\left(-1 \right )^{2+2}\cdot \det\left[ \begin{array}{cc} -1&1\\ 1&2 \end{array} \right ]\\ \\ c_{22}=1\cdot \left[\,\left(-1 \right )\cdot 2-1\cdot 1\, \right ]\\ \\ c_{22}=1\cdot \left[\,-2-1\, \right ]\\ \\ c_{22}=-3$


$\bullet\;\;c_{23}=\left(-1 \right )^{2+3}\cdot \det\left[ \begin{array}{cc} -1&2\\ 1&-1 \end{array} \right ]\\ \\ c_{23}=-1\cdot \left[\,\left(-1 \right )\cdot \left(-1 \right )-1\cdot 2\, \right ]\\ \\ c_{23}=-1\cdot \left[\,1-2\, \right ]\\ \\ c_{23}=1$


$\bullet\;\;c_{31}=\left(-1 \right )^{3+1}\cdot \det\left[ \begin{array}{cc} 2&1\\ 3&5 \end{array} \right ]\\ \\ c_{31}=1\cdot \left[\,2 \cdot 5-3\cdot 1\, \right ]\\ \\ c_{31}=1\cdot \left[\,10-3\, \right ]\\ \\ c_{31}=7$


$\bullet\;\;c_{32}=\left(-1 \right )^{3+2}\cdot \det\left[ \begin{array}{cc} -1&1\\ 2&5 \end{array} \right ]\\ \\ c_{32}=-1\cdot \left[\,\left(-1 \right ) \cdot 5-2\cdot 1\, \right ]\\ \\ c_{32}=-1\cdot \left[\,-5-2\, \right ]\\ \\ c_{32}=7$


$\bullet\;\;c_{33}=\left(-1 \right )^{3+3}\cdot \det\left[ \begin{array}{cc} -1&2\\ 2&3 \end{array} \right ]\\ \\ c_{33}=1\cdot \left[\,\left(-1 \right ) \cdot 3-2\cdot 2\, \right ]\\ \\ c_{33}=1\cdot \left[\,-3-4\, \right ]\\ \\ c_{33}=-7$


A matriz dos cofatores de $\mathbf{B}$ é

$\mathrm{cof}\left(\mathbf{B} \right )=\left[ \begin{array}{ccc}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\ c_{21}&c_{22}&c_{23}\\ c_{31}&c_{32}&c_{33} \end{array} \right ]\\ \\ \\ \mathrm{cof}\left(\mathbf{B} \right )=\left[ \begin{array}{ccc} 11&1&-5\\ -5&-3&1\\ 7&7&-7 \end{array} \right ]$


A matriz adjunta de $\mathbf{B}$ é a transposta da matriz dos cofatores, que é

$\mathrm{adj}\left(\mathbf{B} \right )=\left[\,\mathrm{cof}\left(\mathbf{B} \right )\, \right ]^{t}\\ \\ \mathrm{adj}\left(\mathbf{B} \right )=\left[ \begin{array}{ccc} 11&-5&7\\ 1&-3&7\\ -5&1&-7 \end{array} \right ]$


3) A matriz inversa de $\mathbf{B}$ é igual ao inverso do determinante de $\mathbf{B}$ multiplicado pela matriz adjunta de $\mathbf{B}$, que é

$\mathbf{B}^{-1}=\dfrac{1}{\det \mathbf{B}}\cdot \mathrm{adj}\left(\mathbf{B} \right )\\ \\ \mathbf{B}^{-1}=\dfrac{1}{-14}\cdot \left[ \begin{array}{ccc} 11&-5&7\\ 1&-3&7\\ -5&1&-7 \end{array} \right ]\\ \\ \\ \mathbf{B}^{-1}=\dfrac{1}{14}\cdot \left[ \begin{array}{ccc} -11&5&-7\\ -1&3&-7\\ 5&-1&7 \end{array} \right ]$