Uma sala de aula tem 7 estudantes : 2 meninos e 5 meninas. Se o professor escolher um grupo de 3 estudantes aleatorriamente, qual a probabilidade de que todos no grupo sejam meninas ?
Respostas
Resposta:
2/7
Explicação passo-a-passo:
Uma maneira de resolver esse problema é descobrir quantos grupos diferentes são formados apenas por meninas, e então dividir isso pelo número total de grupos que você pode escolher. Como todo grupo tem a mesma probabilidade de ser escolhido, esta será a probabilidade de um grupo formado apenas por meninas ser escolhido.
Dica n°22 / 9
Sabemos duas formas de contar o número de grupos que podemos escolher: usamos permutações caso a ordem seja relevante, e combinações caso não seja. Neste caso, a ordem de escolha dos alunos é relevante?
Dica n°33 / 9
Escolher Júlia e depois Beatriz ou Beatriz e depois Júlia não é relevante, então a ordem não é relevante. Sendo assim, o número de maneiras de escolher um grupo de 333 estudantes de um total de 777 é \dfrac{7!}{(7-3)!3!} = \binom{7}{3}
(7−3)!3!
7!
=(
3
7
)start fraction, 7, !, divided by, left parenthesis, 7, minus, 3, right parenthesis, !, 3, !, end fraction, equals, start binomial, left parenthesis, 7, over, 3, right parenthesis, end binomial.
Dica n°44 / 9
Podemos usar a mesma lógica para contar o número de grupos formados apenas por meninas.
Dica n°55 / 9
Especificamente, o número de maneiras de escolher um grupo de 333 estudantes de um total de 555 é \dfrac{5!}{(5-3)!3!} = \binom{5}{3}
(5−3)!3!
5!
=(
3
5
)start fraction, 5, !, divided by, left parenthesis, 5, minus, 3, right parenthesis, !, 3, !, end fraction, equals, start binomial, left parenthesis, 5, over, 3, right parenthesis, end binomial.
Dica n°66 / 9
Então, a probabilidade de o professor escolher um grupo formado apenas por meninas é o número de grupos formados apenas por meninas dividido pelo número total de grupos que o professor pode escolher.
Dica n°77 / 9
Ou seja, \displaystyle \frac{\frac{5!}{(5-3)!\cancel{3!}}} {\frac{7!}{(7-3)!\cancel{3!}}} = \frac{\frac{5!}{2!}}{\frac{7!}{4!}}
(7−3)!
3!
7!
(5−3)!
3!
5!
=
4!
7!
2!
5!
start fraction, start fraction, 5, !, divided by, left parenthesis, 5, minus, 3, right parenthesis, !, start cancel, 3, !, end cancel, end fraction, divided by, start fraction, 7, !, divided by, left parenthesis, 7, minus, 3, right parenthesis, !, start cancel, 3, !, end cancel, end fraction, end fraction, equals, start fraction, start fraction, 5, !, divided by, 2, !, end fraction, divided by, start fraction, 7, !, divided by, 4, !, end fraction, end fraction
Dica n°88 / 9
Podemos reorganizar os termos para tornar a simplificação mais fácil \left(\dfrac{5!}{2!}\right) \left(\dfrac{4!}{7!}\right) = \left(\dfrac{5!}{7!}\right) \left(\dfrac{4!}{2!}\right)(
2!
5!
)(
7!
4!
)=(
7!
5!
)(
2!
4!
)left parenthesis, start fraction, 5, !, divided by, 2, !, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, start fraction, 4, !, divided by, 7, !, end fraction, right parenthesis, equals, left parenthesis, start fraction, 5, !, divided by, 7, !, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, start fraction, 4, !, divided by, 2, !, end fraction, right parenthesis
Dica n°99 / 9
Após a simplificação, obtemos \left(\dfrac{\cancel{5!}}{7\cdot6 \cdot \cancel{5!}}\right) \left(\dfrac{4\cdot3 \cdot \cancel{2!}}{\cancel{2!}}\right) = \left(\dfrac{1}{42}\right) \left(12\right) = \dfrac{2}{7}(
7⋅6⋅
5!
5!
)(
2!
4⋅3⋅
2!
)=(
42
1
)(12)=
7
2