Question

Seja C a circunferência de raio 1/2 centrada na origem.

a) Seja P = (c1; c2), com c1 e c2 números reais, um ponto de C. Escreva as equações
paramétricas e cartesiana da reta que é tangente a C e que passa por P.

- Faça um esboço, no plano OXY da circunferência, do ponto P e da reta tangente a C, passando
por P.

b) Equações cartesianas de retas tangentes a C sempre podem ser escritas da forma ax+by = 1, com a e b números reais. Explique porque.

c) Encontre uma relação entre a e b, descritos no item anterior.


Se puderem explicar seria bem melhor.

Answer 1

Boa noite

a) Vamos representar as coordenadas do ponto P por m e n → P(m,n).

A reta (s) que passa por O e P tem coeficiente angular igual a n / m .

Queremos obter a equação da reta (r) que é perpendicular à reta (s) e que

passa pelo ponto P.

O coeficiente angular de (r) é o oposto do inverso do coeficiente angular

de (s) , ou seja - m / n .

As equações das retas ,na forma reduzida , são :

$(s) \rightarrow y=\dfrac{n}{m}x \quad\quad e \quad\quad (r) \rightarrow \boxed{y= -\dfrac{m}{n}x+b}$

As coordenadas do ponto P devem satisfazer a equação da reta (r) logo :

$(r) \rightarrow n= -\dfrac{m}{n}*m+b \Rightarrow n+\dfrac{m}{n}*m=b\\ \\ \\ \Rightarrow b=n+\dfrac{m}{n}*m\Rightarrow \boxed{ b=\dfrac{n^{2}+m^{2}}{n} }$

Agora podemos escrever a equação reduzida da reta (r)

$\boxed{y=-\dfrac{m}{n}x+\dfrac{m^{2}+n^{2}}{n}}$

E transformar em equações paramétricas separando as variáveis e criando o

parâmetro t.

$y=-\dfrac{m}{n}x+\dfrac{m^{2}+n^{2}}{n} \Rightarrow y=-\dfrac{m}{n}x+\dfrac{m^{2}}{n} +\dfrac{n^{2}}{n} \\ \\ \\ \Rightarrow y=-\dfrac{m}{n}x+\dfrac{m^{2}}{n} +n}\\ \\ \\ \Rightarrow y-n=-\dfrac{m}{n}x+\dfrac{m^{2}}{n} } \Rightarrow \boxed { y-n=\dfrac{m}{n}(-x+m)=t }$

temos então :

$y-n=t \Rightarrow \boxed{ y =n+t }\quad \quad\quad e \\\\ \\\quad\quad \dfrac{m}{n}(-x+m)=t \Rightarrow -x+m=\dfrac{n}{m} t\Rightarrow -x=\dfrac{n}{m} t-m\\ \\ \\ \boxed{ x=-\dfrac{n}{m} t+m}$

Conclusão :

para m ≠ 0 temos as equações paramétricas :

$\boxed{y=n+t } \quad\quad e \quad\quad \boxed{ x=-\dfrac{n}{m}t+m }$

e para m=0 temos as retas de equações y=0,5 e y = -0,5

A equação cartesiana é dada por :$y= -\dfrac{m}{n}x+\dfrac{m^{2}+n^{2}}{n} \Rightarrow ny=-mx+(m^{2}+x^{2}) \\ \\ \\ \boxed{ mx+ny-(m^{2}+n^{2}) =0}$

b) Nenhuma das retas passa pela origem , então todas podem ter suas

equações escritas na forma segmentária.

$\dfrac{x}{p} +\dfrac{y}{q} =1$

onde p e q são as medidas dos segmentos que a reta determina sobre os

eixos 0x e 0y . Como p e q nunca serão nulos podemos fazer :

$a=\dfrac{1}{p} \quad\quad e \quad\quad b=\dfrac{1}{q}$

e as equações terão a forma ax+by = 1

c) a e b são os inversos das medidas dos segmentos que a reta determina

sobre os eixos.