Question

Considere a equação da circunferência dada por X² + Y² - 8X + 10Y + m = 0.
Nessas condições, qual o valor de m para que a circunferência tenha raio igual 7 ? Identifique o centro da circunferência e a posição relativa ao ponto (-3, -5)

A) m= -4; C(-4, -5); d = 7
B) m= -8; C(-4, -5); d = 8
C) m= 5; C(-4, 5); d = 7
D) m= 7; C(-4, 5); d = 8
E) m= -8; C(4, -5); d = 7

Answer 1

A equação reduzida de uma circunferência possui a seguinte equação geral:

$(x-x_{0} )^{2} +(y-y_{0} )^{2}=R^{2}$

onde (xo,yo) é o centro da circunferência e R é o raio. Desse modo, vamos somar 49 (raio ao quadrado) em ambos os lados da equação:

$x^{2} +y^{2} -8x+10y+m+49=49$

Ainda, quando abrimos o quadrado, sabemos que um dos termos é o dobro da multiplicação do primeiro termo pelo segundo. Desse modo, podemos concluir que o centro em X é igual a 4 e o centro em Y é igual a -5. Contudo, com isso, iríamos gerar a soma: 16 + 25 = 41. Por isso, devemos subtrair esse valor. Com essas operações, temos:

$(x+4 )^{2} +(y-5 )^{2}-41+m+49=49$

Desse modo, temos que:

$m - 41 + 49 = 0$

$m = -8$

Portanto, o valor de m é igual a -8 e o centro da circunferência é (4,-5).

Além disso, podemos substituir o ponto (-3,-5) na equação:

$(-3)^{2} +(-5)^{2} -8*(-3)+10*(-5)-8=0$

$9 + 25 + 24 - 50 - 8 = 0$

$0 = 0$

Portanto, esse ponto está sobre a circunferência. Assim, sua distância até o centro é igual ao raio, ou seja, 7 unidades de medida.

Alternativa correta: E.