Question

desafio (UEPA) otimização é uma área do conhecimento que se nutre das ciências exatas para sulucionar problemas práticos e efetivos independentemente do contexto onde surgem. As indústrias buscam sistemáticamente otimizar o processo fabril visando minimizar o desperdício de material e, em decorrência disso, reduzir custos e ofertar produtos vom qualidade e preços menores. Nesse sentido, uma empresa pretende cortar, nos cantos de uma folha de papelão, quadrados de lados x cm, de modo que o volume da caixa aberta seja máximo, conforme a figura abaixo. Nessas condições e sabendo que a medida do lado do quadrado a ser cortado corresponde a uma das raízes da equação 12x^2-8Lx+L^2=0 o volume máximo dessa caixa será obtido quando o lado do quadrado a ser cortado nos cantos das folhas de papelão medir:

Answer 1

Podemos decompor a equação dada em dois fatores:
ax – L
bx – L

O sinal (–) para concordar com (–)8x e o segundo termo L, para concordar com o produto L*L=L²

"a" + "b" deve dar 8, ao passo que "ab" deve dar 12.

Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Pares de divisores que podem recompor 12:
1*12 (soma 13)
2*6 (soma 8 )
3*4 (soma 7)

Obviamente, podemos nos certificar de que:
"a" e "b" serão 2 e 8 (ou vice-versa).

Logo, podemos escrever:
12x² - 8Lx + L² = (2x - L)(6x - L) = 0

Donde podemos deduzir as duas raízes:
2x - L = 0 → 2x = L → x=L/2
6x - L = 0 → 6x = L → x=L/6

Se fizermos x=L/2 o "miolo" da caixa será nulo, pois será igual a L - 2*L/2 = 0
Assim, a raiz a ser utilizada deverá ser x=L/6.