Question

(UFSCAR) Considere a equação
${x}^{2} + kx + 36 = 0$, onde x' e x'' representam suas raízes. Para que exista a relação
$\frac{1}{x'} + \frac{1}{x''} = \frac{5}{12}$
,o valor de k na equação deve ser?

Resp.: -15
Agradeço muito quem puder me ajudar na resolução, obrigada!

Answer 1

Olá!


Seja uma equação na forma

$a {x}^{2} + bx + c = 0$

com "a" diferente de zero. Considere x' e x" suas raízes.

Pelas Relações de Girard, vem que:

x' + x" = -b/a

e

x' • x" = c/a.


A equação dada é:

${x}^{2} + kx + 36 = 0$

Usando as relações dadas, decorre que:


x' + x" = - k (1) e x' • x" = 36 (2)


Queremos saber o valor de k, para que exista a relação

$\frac{1}{x'} + \frac{1}{x''} = \frac{5}{12}$.

Manipulando essa relação, temos que:

$\frac{x' + x"}{x' × x"} = \frac{5}{12}$


Agora usando (1) e (2), segue que:

$\frac{- k}{36} = \frac{5}{12} \\ -12k = 180 \\ k = - \frac{180}{12}\\ k = -15.$