Question

Me ajudem por favor, preciso disso urgente!
Preciso da resposta com o cálculo!!

Determine 4 números em progressão aritmética crescente, sabendo que sua soma é -2 e a somados dos seus quadrados é 6.

Answer 1

Obs: Asteriscos representam multiplicação

4 números de uma PA de razão r

a1 = a - r

a2 = a

a3 = a + r

a4 = a + 2r

a1 + a2 + a3 + a4 = -2

a - r + a + a + r + a + 2r = -2 ( r positivo e r negativo se anulam)

4a + 2r = -2 (Simplificando a expressão por 2 em ambos os lados do sinal de "=")

2a + r = -1 (isolamos o r)

r = -1 - 2a

$(a1)^{2} +(a2)^{2} +(a3)^{2} +(a4)^{2}$ = 6

$(a-r)^{2} + a^{2} + (a+r)^{2} + (a+2r)^{2}$ = 6

$a^{2} - 2ra + r^{2} + a^{2} + a^{2} + 2ra + r^{2} + a^{2} + 4ra + 4r^{2}$ = 6 (-2ra e +2ra se anulam)

$4 a^{2} + 4ra + 6r^{2}$ = 6

(Agora você substitui o r da equação acima, pelo valor de r isolado da primeira equação => r = -1 - 2a )

$4a^{2} + 4*(-1-2a)*a + 6*(-1-2a)^{2}$ = 6

$4a^{2} -4a -8a^{2} + 6*(4a^{2} + 4a + 1)$ = 6

$4a^{2} -4a -8a^{2} + 24a^{2} + 24a + 6$ = 6

$20a^{2} + 20a + 6$ = 6

$20a^{2} + 20a + 6 - 6$ = 0 (Novamente, -6 e 6 se anulam)

20a( a + 1 ) = 0

20a = 0

a = 0/20

a = 0

a + 1 = 0

a = -1

Agora você vai pegar os valores de a que é 0 e -1 e usar na equação que isolamos o "r" ( r = -1 - 2a ) , pois assim você descobrirá a razão da PA.

Para a = 0

r = -1 -2*0

r = -1

Para a = -1

r = -1-2*(-1)

r = -1 + 2

r = 1

Para a = 0 e r = -1

a1 = a - r

a1 = 0 - (-1)

a1 = 1

a2 = a

a2 = 0

a3 = a + r

a3 = 0 + (-1)

a3 = -1

a4 = a + 2r

a4 = 0 + 2*(-1)

a4 = 0 -2

a4 = -2

Organizando,

a1 = 1

a2 = 0

a3 = -1

a4 = -2

Essa, portanto, é uma PA decrescente. Não nos interessa, pois no enunciado é pedido uma PA crescente. Então vamos testar o outro valor de a e de r.

Para a = -1 e r = 1

a1 = a - r

a1 = -1 - 1

a1 = -2

a2 = a

a2 = -1

a3 = a+r

a3 = -1 + 1

a3 = 0

a4 = a + 2r

a4 = -1 + 2*1

a4 = -1 + 2

a4 = 1

Organizando,

a1 = -2

a2 = -1

a3 = 0

a4 = 1

Essa é uma PA crescente, portanto é quem nos interessa, vamos testar se a soma dos termos é igual a -2 e se a soma dos quadrados dos termos é 6

Soma dos termos

-2 + (-1) + 0 + 1 = -2

-3 + 1 = -2

-2 = -2

Soma dos quadrados dos termos

$(-2)^{2} + (-1)^{2} + (0)^{2} + (1)^{2}$ = 6

4 + 1 + 0 + 1 = 6

6 = 6

Com as condições pedidas verificadas, essa é a resposta:

PA = (-2, -1, 0, 1)