Question

Considere a equação da circunferência dada por x²+ y²- 8x + 10y + m =0. Nessas condições qual o valor de m para que a circunferência tenha raio igual 7 ? Identifique o centro da circunferência e a posição relativa ao ponto (-3, -5)

a) m = -4; c(-4, -5); d = 7
b) m = -8; c(-4, -5); d = 8
c) m = 5; c(-4, 5); d = 7
d) m = 7; c(-4 5); d = 8
e) m = -8; c(4 -5); d = 7

alternativa ;
a ( ) b ( ) c ( ) d ( ) e ( )

Answer 1

A equação reduzida de uma circunferência possui a seguinte equação geral:

$(x-x_{0}) ^{2} +(y-y_{0}) ^{2} =R^{2}$

onde (xo,yo) é o centro da circunferência e R é o raio. Desse modo, vamos somar 49 (raio ao quadrado) em ambos os lados da equação, o que equivale a zero.

$x^{2} +y^{2} -8x+10y+m+49=49$

Quando abrimos o quadrado, sabemos que o segundo termo é o dobro da multiplicação do primeiro termo pelo segundo. Desse modo, podemos concluir que o centro em X é igual a 4 (pois temos -8x) e o centro em Y é igual a -5 (pois temos 10y). Contudo, com isso, iríamos: 4² + 5² = 16 + 25 = 41. Por isso, devemos subtrair esse valor. Com essas operações, temos:

$(x+4)^{2} +(y-5)^{2} -41+m+49=49$

Para que a equação fique conforme a equação reduzida, temos:

$-41+m+49=0$

$m=-8$

Portanto, o valor de m é igual a -8 e o centro da circunferência é (4,-5). A posição relativa do ponto (-3,-5) será:

$(-3)^{2} + (-5) ^{2} -8*(-3)+10*(-5)-8=0$

$0=0$

Portanto, o ponto está sobre a circunferência e sua distância até o centro é o raio, ou seja, igual a 7 unidades de distância.

Alternativa correta: E.