Question

O triângulo CDP interno ao quadrado ABCD é equilátero. Quanto mede o ângulo APD?

Answer 1

Olá!

Seja x a medida do lado desse quadrado ABCD. Como o triângulo CDP é equilátero e o lado AC tem a mesma medida do lado do quadrado, então todos os seus lados também medem x. Observe que o triângulo APD tem um lado em comum com o triângulo CDP e um lado em comum com o quadrado, ou seja, tem dois lados medindo x. Dessa forma, o triângulo APD é isósceles.

Sabemos que, em triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes. Daí, os ângulos APD e DAP têm a mesma medida. Seja
$\alpha$
a medida desses ângulos. Note que o ângulo ADP mede 30°, pois o triângulo CDP é equilátero e, portanto, todos os seus ângulos internos medem 60°.

Como em todo triângulo, a soma dos ângulos internos é igual a 180°, decorre que:

ADP + APD + DAP = 180
$30 + \alpha + \alpha = 180 \\ 30 + 2 \alpha = 180 \\ 2 \alpha = 180 - 30 \\ 2 \alpha = 150 \\ \alpha = \frac{150}{2} \\ \alpha = 75$

Logo, o ângulo ADP mede 75°.