Question

O retângulo DEFG está inscrito no triângulo isósceles ABC, como na figura abaixo. Assumindo DE = GF = 12, EF = DG = 8 e AB = 15, a altura do triângulo ABC é: a: 35/4 b: 150/7 c: 90/7 d: 180/7 e: 28/5

Answer 1

Olá Claricha!

Uma vez que o triângulo ABC é isósceles, temos que $\mathbf{\overline{AE} = \overline{FB}}$; com isso, considere tais medidas 'valendo' $\mathbf{x}$. Daí,

$\\ \mathsf{\overline{AB} = \overline{AE} + \overline{EF} + \overline{FB}} \\\\ \mathsf{15 = x + 8 + x} \\\\ \mathsf{2x = 7} \\\\ \boxed{\mathsf{x = \frac{7}{2}}}$

Por conseguinte, do vértice C, traçamos a altura do triângulo ABC, denote H o pé da perpendicular. Assim, como o triângulo ABC é isósceles, a altura também será mediana; portanto, $\mathbf{\overline{AH} = \overline{HB}}$.

Por fim, aplicando o T. de Tales nos triângulos CHB e GFB, teremos:

$\\ \displaystyle \mathsf{\frac{\overline{CH}}{\overline{HB}} = \frac{\overline{GF}}{\overline{FB}}} \\\\\\ \mathsf{\frac{h}{\overline{HF} + \overline{FB}} = \frac{12}{x}} \\\\\\ \mathsf{\frac{h}{4 + x} = \frac{12}{x}} \\\\\\ \mathsf{h \cdot x = 12(4 + x)} \\\\\\ \mathsf{\frac{7h}{2} = 12 \cdot (4 + \frac{7}{2})} \\\\\\ \mathsf{\frac{7h}{2} = 12 \cdot \frac{15}{2}} \\\\ \mathsf{7h = 12 \cdot 15} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{h = \frac{180}{7}}}}$

Answer 2

A altura do triângulo ABC é 180/7, alternativa D.

Esta questão se trata do triângulo.

Do enunciado, temos os seguintes dados:

• DE = GF = 12
• EF = DG = 8
• AB = 15

Como ABC é isósceles, podemos dizer que AE = FB e também que AB = AE + EF + FB, logo:

15 = 2·AE + 8

2·AE = 7

AE = 7/2

Pela semelhança de triângulos, podemos utilizar o triângulo AED e o triângulo AOC (onde O é o ponto de interseção entre a altura e a base AB) e AO = AB/2:

AE/DE = AO/h

(7/2)/12 = (15/2)/h

h = 12·(15/2)/(7/2)

h = 360/14

h = 180/7

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