Question

Considere um prisma regular reto de base hexagonal tal que a razão entre a aresta da base e a aresta lateral é . Aumentando-se a aresta da base em 2 cm e mantendo-se a aresta lateral, o volume do prisma ficará aumentado de 108 cm³. O volume do prisma original é? alguém sabe? por favor ;)

Answer 1

O volume do prisma original é 36 cm³.

Para a resolução da questão, devemos considerar que:

a/L = √3/3  => L = a√3

Sendo:

Altura do triângulo eq. da base: h = a√3/2

Área do triângulo eq. da base: S = a2√3/4

Área do hexágono da base: SH = 6S => SH = a23√3/2

Volume do prisma: V = SHL => V = (9/2)a3

Dessa forma:

a' = a+2 => V' = V + 108 => V' = (9/2)a3 + 108 (1)

h' = (a+2)√3/2

S' = (a+2)2√3/4

S'H = (a+2)23√3/2

V' = (a+2)2(3√3/2)*(a√3)

V' = (9/2)[a2 + 4a + 4]*a

V' = (9/2)[a3 + 4a2 + 4a] (2)

(1) = (2), resulta em:

(9/2)[a3 + 4a2 + 4a] = (9/2)a3 + 108

9a3 + 36a2 + 36a - 9a3 - 216 = 0

36a2 + 36a - 216 = 0 (divide-se por 36)

a2 + a - 6 = 0

=> a = -3  (a aresta deve ter um valor positivo)

=> a = 2  

Sendo assim,

V = (9/2) x 23  

V = 36 cm³

Bons estudos!