03. (PUC) Marcam-se 3 pontos sobre uma reta r e 4
pontos sobre outra reta paralela a r. O número de
triângulos que existem, com vértices nesses pontos, é
a) 60
b) 35
c) 30
d) 9
e) 7
Respostas
Uma questão bem criativa, primeiramente devemos pensar passo a passo:
1) Quantos vértices um triângulo precisa? Um triângulo tem exatamente 3 vértices;
2) Sendo assim devo escolher exatamente três pontos, porém nem todos colineares (alinhados), preciso escolher 2 pontos em uma reta e 1 ponto em outra;
3) Será que a ordem faz diferença? Não, o triângulo ΔABC e ΔCBA são o mesmo, logo estamos lidando com combinação;
4) Chamearemos de s a reta paralela a r;
5) Podemos começar a calcular;
i) Primeiro vou escolher 2 pontos em r e em seguida 1 ponto em s:
C2,4*C1,3= [4!/((4-2)!*2!)]*[3!/((3-1)!*1!)]=4*3=12
ii) Agora dois pontos em s e um em r;
C1,4*C2,3= [4!/((4-1)!*1!)]*[3!/((3-2)!*2!)]=4*3=12
iii) Somando:
12+18=30
R: 30 triângulos, letra c;
São 3 pontos sobre uma reta R e 4 pontos sobre uma reta paralela a R , totalizando assim 7 pontos. A questão pede o número de triângulos que existem com vértices nesses pontos.
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Sabemos que para formar um triângulo ,são 3 pontos , portanto temos que combinar , cada ponto marcado a cada reta , veja :
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Fórmula :
Cₐ,ₓ = a!/x!(a-x)!
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C₇,₃ = 7!/3!(7-3)!
C₇,₃ = 7!/3!*4!
C₇,₃ = 7*6*5*4!/3!*4!
C₇,₃ = 7*6*5/3*2
C₇,₃ = 210/6
C₇,₃ = 35
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35 é o número total de combinações unindo 3 pontos , mas temos subtrair a união de 3 pontos , ou seja , temos que retirar os pontos que não formam triângulos , de 3 e 4 pontos.
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N = C₃,₃ + C₄,₃
N = 3!/3!(3-3)! + 4!/3!(4-3)!
N = 3!/3! + 4!/3!
N = 1 + 4*3!/3!
N = 1 + 4
N = 5
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Subtraindo o total de combinações de 3 pontos das combinações de 3 e 4 pontos temos :
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N = 35 - 5
N = 30
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Portanto existem 30 triângulos que existem com vértices nesses pontos.
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