me ajudeeeeem rápido :
um número inteiro positivo n tem um total de 12 fatores primos distintos. O número de modos em que n pode ser fatorado como produto de dois números positivos e primos entre si é igual a:
a)1466 b) 1654 c) 1882 d) 1964 c) 2048
Respostas
Olá :)
Sabemos que todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto em um produto de dois ou mais fatores, sendo eles primos ou não.
O enunciado nos informa que o número n foi decomposto em 12 fatores primos distintos.
Como já foi dito, n pode ser produto de dois ou mais fatores, porém o enunciado informa que ele é resultado do produto de dois números primos. Então, o enunciado questiona de quantas maneiras podemos multiplicar dois números desses 12 fatores e assim obter o valor n.
Vamos tentar entender isso com um exemplo:
A decomposição de 24 em um produto de fatores primos é 2 x 2 x 2 x 3. Fazendo como o enunciado pede, ao escolher um desses fatores, como por exemplo o 2, temos que multiplicar 2 por algum número para dar 24. Esse número será a multiplicação de todos os fatores restantes: 2x2x3 = 12.
E então 2x12 = 24.
Percebeu como funciona? Se escolhermos um dos 12 fatores, o outro automaticamente já será determinado como a multiplicação dos outros 11 não escolhidos.
Podemos escolher o primeiro fator também como a multiplicação de dois desses números, seguindo o exemplo: 2x2 = 4. O outro será a multiplicação dos restantes, 2x3 = 6. Multiplicando os dois números: 4x6 = 24.
E assim por diante...
Entao os modos de como o primeiro fator podem escolhidos são:
- Nenhum dos 12 valores [o produto será o proprio n x 1]
- Apenas 1 dos 12 fatores
- O produto de dois dos 12 fatores do número original [como fizemos no exemplo acima]
- O produto de tres fatores dos 12 fatores.
- O produto de quatro fatores dos 12.
- O produto de 5 fatores dos 12
- O produto de 6 fatores dos 12.
ATENÇÃO: Agora, se continuarmos, teremos os mesmos resultados obtidos anteriormente, pois teríamos o produto de 7 fatores, restando 5 outros fatores para serem multiplicados para gerar o outro número. Isso já temos e o resultado já foi descrito na opção 6.
Continuando, cada um desses tópicos gera uma combinação.
O tópico 1 gera uma combinação de 12 fatores para serem combinados em um grupo de 0, o tópico 2 gera uma combinação de 12 fatores para serem combinados em grupos com 2 fatores... E assim por diante.
Temos:
[A ultima combinação é dividida por 2 pelo motivo que explicamos acima, na parte escrita como atenção]
Sendo a fórmula da combinação:
Teremos como resultado: