Question

Deseja-se construir uma piscina retangular com 900m^2 de área. Quais as dimensões para que o perímetro seja mínimo?

Answer 1

Sejam x e y as dimensões da piscina.

Sabemos que $xy=900$

O perímetro será dado por: $P=2(x+y)$

$P=2(x+\frac{900}{x})$

Derivando os dois lados em relação a x:
$P' = 2(1-\frac{900}{x^2})$

Igualando P' a zero...
$1-\frac{900}{x^2}=0$
$x^2=900$
$x=30m$

Com isso o perímetro será:
$P=2(30+\frac{900}{30})$
$P=2(30+30)$
$P = 120m$

Answer 2

As dimensões da piscina devem ser de 30 m x 30 m.

A área de uma piscina retangular com dimensões x e y é dada pela expressão:

A = x.y

Já o perímetro é a soma de seus lados, ou seja:

P = 2x + 2y

Sabemos que a área da piscina é de 900 m², então xy = 900, logo x = 900/y. Substituindo este valor, temos:

P = 2(900/y) + 2y

P = 2(900/y + y)

Para encontrar o máximo da função, devemos derivá-la e igualar a derivada a zero:

dP/dy = 2(-900/y² + 1)

2(-900/y² + 1) = 0

-1800/y² + 2 = 0

-1800/y² = -2

y² = 1800/2

y² = 900

y = 30 m

Com isso:

x = 900/30

x = 30 m

Logo, a piscina deve ser quadrada com lado 30 metros.

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