Question

Qual é a soma dos 50 primeiros termos da sequência(-1/2,0,1/2,1,....)

Answer 1

Analisando esta sequência, verifica-se que trata-se de uma progressão aritmética (P.A.), onde

$\bullet\;\;$ o primeiro termo é

$a_{1}=-\dfrac{1}{2}$

$\bullet\;\;$ a razão de crescimento é

$r=\dfrac{1}{2}$

pois o próximo termo é igual ao termo anterior somado com $\dfrac{1}{2}$.

A fórmula do termo geral (ou o termo na posição $n$) de uma P.A. é

$a_{n}=a_{1}+\left(n-1 \right )\cdot r$


Vamos encontrar o termo na posição $50$, que será o último termo da soma pedida. Então

$n=50$

$a_{50}=a_{1}+\left(50-1 \right )\cdot r\\ \\ a_{50}=-\dfrac{1}{2}+49\cdot \dfrac{1}{2}\\ \\ a_{50}=\dfrac{-1+49}{2}\\ \\ a_{50}=\dfrac{48}{2}\\ \\ a_{50}=24$


A fórmula da soma dos $n$ primeiros termos de uma P.A. é

$S_{n}=\dfrac{\left(a_{1}+a_{n} \right )\cdot n}{2}$


Sendo assim, a soma dos $50$ primeiros termos desta P.A. é

$S_{50}=\dfrac{\left(a_{1}+a_{50} \right )\cdot 50}{2}\\ \\ S_{50}=\dfrac{\left(-\frac{1}{2}+24 \right )\cdot 50}{2}\\ \\ S_{50}=\dfrac{\left(\frac{-1+48}{2}\right )\cdot 50}{2}\\ \\ S_{50}=\dfrac{\frac{47}{2} \cdot 50}{2}\\ \\ S_{50}=\dfrac{47}{2} \cdot 25\\ \\ S_{50}=\dfrac{1\,175}{2}$