Question

O ponto p (7,-3) pertence a uma circunferência de centro (4,2). determine o ponto diametralmente oposto a p. quanto mede o raio da circunferência

Answer 1

a) Queremos encontrar o ponto $Q\left(x_{_{Q}},\,y_{_{Q}} \right )$, diametralmente oposto a $P\left(7,\,-3 \right )$, sendo que estes dois pontos pertencem a uma circunferência com centro no ponto $C\left(4,\,2 \right )$.

De acordo com o enunciado da questão, o segmento $\overline{PQ}$ é um diâmetro desta circunferência. Sendo assim, o centro $C$ é o ponto médio deste segmento:

$x_{_{C}}=\dfrac{x_{_{P}}+x_{_{Q}}}{2}\\ \\ 2x_{_{C}}=x_{_{P}}+x_{_{Q}}\\ \\ x_{_{Q}}=2x_{_{C}}-x_{_{P}}\\ \\ x_{_{Q}}=2\cdot \left(4 \right )-\left(7 \right )\\ \\ x_{_{Q}}=8-7\\ \\ x_{_{Q}}=1\\ \\ \\ y_{_{C}}=\dfrac{y_{_{P}}+y_{_{Q}}}{2}\\ \\ 2y_{_{C}}=y_{_{P}}+y_{_{Q}}\\ \\ y_{_{Q}}=2y_{_{C}}-y_{_{P}}\\ \\ y_{_{Q}}=2\cdot \left(2 \right )-\left(-3 \right )\\ \\ y_{_{Q}}=4+3\\ \\ y_{_{Q}}=7$


Logo, o ponto procurado é o ponto $Q\left(1,\,7 \right )$


b) O raio $r$ desta circunferência é igual à distância do centro $C$ a um dos pontos $P$ ou $Q$. Escolhamos, por exemplo, o ponto $Q$. Então,

$r=d_{_{CQ}}\\ \\ r=\sqrt{\left(x_{_{Q}}-x_{_{C}} \right )^{2}+\left(y_{_{Q}}-y_{_{C}} \right )^{2}}\\ \\ r=\sqrt{\left(1-4 \right )^{2}+\left(7-2 \right )^{2}}\\ \\ r=\sqrt{\left(-3 \right )^{2}+\left(5 \right )^{2}}\\ \\ r=\sqrt{9+25}\\ \\ r=\sqrt{34}\text{ u.c.}$