Question

Seja p: N→N uma função definida por p(x) = x³ + x² + x + 1. Mostre que para qualquer que seja o par ordenado (x, p(x)) seus termos têm paridades diferentes.

Answer 1

Vamos dividir em dois casos:

1° caso

A abscissa é par

Se a abscissa é par, então podemos dizer que x = 2a, a ∈ IN.

Então, para calcular a ordenada, basta substituir o valor de x na função, ou seja,

y = (2a)³ + (2a)² + 2a + 1

y = 8a³ + 4a² + 2a + 1

y = 2(4a³ + 2a² + a) + 1

Chamando 4a³ + 2a² + a de k, k ∈ IN, temos:

y = 2k + 1, que é um número ímpar.

ou seja, se a abscissa for par, então a ordenada é ímpar.

2° caso

A abscissa é ímpar.

Sendo x = 2a + 1, a ∈ IN, então:

y = (2a + 1)³ + (2a + 1)² + 2a + 1 + 1

y = 8a³ + 6a + 12a² + 1 + 4a² + 4a + 1 + 2a + 1 + 1

y = 8a³ + 16a² + 12a + 4

y = 2(4a³ + 8a² + 6a + 2)

Considerando que 4a³ + 8a² + 6a + 2 = k, k ∈ IN, então:

y = 2k, que é um número par.

Assim, se a abscissa é ímpar, então a ordenada é par.

Portanto, para qualquer que seja o par ordenado (x, p(x)) seus termos têm paridades diferentes.