Question

Demonstre por indução que se a sequência (a_1,a_2,a_3,…,a_n) é uma progressão geométrica então a fórmula: a) do termo geral é dada por a_n=a_1 q^(n-1). b) da soma finita é dada por a_n=(a_1 (q^n-1))/(q-1).

Answer 1

Olá.

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Introdução

A prova por Indução Finita consiste em demonstrar uma propriedade para qualquer inteiro k, assumindo que uma premissa seja verdadeira. Isto é, partimos de uma Hipótese e, assumindo-a verdadeira, tentamos provar que nossa Tese é válida. Naturalmente, a tese precisa de algum domínio de validade, por isso, usamos a Base de Indução, que é um caso mais simples e pode ser provado trivialmente.

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Item a) Embora provavelmente seja sabido, vou definir o q que aparece no enunciado como sendo a razão da progressão geométrica(PG, de agora em diante).

• Base de indução: n = 2 (poderíamos usar n = 1 sem problemas)

Como é uma PG, vale que $a_2 = a_1\cdot q$ . Assim, nossa base de indução é válida e podemos tentar generalizar:

• Passo indutivo:

Assuma, por Hipótese, que, para k inteiro, segue:

$a_k = a_1\cdot q^{k-1}$

Queremos provar nossa Tese:

$a_{k+1} = a_1\cdot q^{(k+1) - 1} = a_1\cdot q^k$

Por ser dito que a sequência é uma PG, é verdade que:

$a_{k+1} = a_k\cdot q$

Ao utilizarmos a hipótese, escrevemos:

$a_{k+1} = (a_1\cdot q^{k-1})\cdot q\\ \\ a_{k+1} = a_1\cdot q^{k-1+1}\\ \\ a_{k+1} = a_1\cdot q^k$

Que é justamente nossa tese. Logo, está provado $\blacksquare$

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Item b) Como vimos anteriormente, a demonstração por indução não é feita por dedução. Ela parte de algo que reparamos nos padrões de um problema e que tentamos generalizar. Assim, vamos começar com a base.

• Base de indução: n = 2 (poderíamos usar n = 1 sem problemas)

Vemos se a soma dos dois primeiros termos$a_1+a_2$ , que sabemos de antemão está de acordo com a fórmula proposta:

$S_2 = \dfrac{a_1(q^2 -1)}{q-1} \\ \\ S_2=\dfrac{a_1\cdot (q-1)\cdot(q+1)}{q-1}\\ \\ S_2 = a_1(q+1)\\ \\ S_2 = a_1 + \underbrace{a_1\cdot q}_{a_2}\\ \\ S_2 = a_1 + a_2$

Portanto, a nossa base é válida.

• Passo indutivo:

Assuma, por Hipótese, que, para k inteiro, vale:

$S_k = \dfrac{a_1\cdot(q^k-1)}{q-1}$

Tentaremos provar que:

$S_{k+1} = \dfrac{a_1(q^{k+1}-1)}{q-1}$

Para isso, reparemos que como $S_k$ representa a soma:

$S_k = a_1+a_2+\dots+a_k$

A soma $S_{k+1}$ valerá:

$S_{k+1} = a_1+a_2+\dots+a_k+a_{k+1} = S_k + a_{k+1}$

Assim, somemos $a_{k+1}$ em ambos os lados de nossa hipótese:

$S_{k}+a_{k+1} = \dfrac{a_1\cdot(q^k-1)}{q-1} +a_{k+1}$

$S_{k+1}= \dfrac{a_1\cdot(q^k-1)}{q-1} +a_{k+1}$

Do item a), podemos escrever: $a_{k+1} = a_1\cdot q^k$ . Por isso:

$S_{k+1}= \dfrac{a_1\cdot(q^k-1)}{q-1} +a_1\cdot q^k\\ \\ \\S_{k+1} = a_1\left(\dfrac{q^k-1}{q-1} +q^k\right)\\\\\\S_{k+1} = a_1\left[\dfrac{(q^k-1) + q^k(q-1)}{q-1}\right]\\\\\\S_{k+1} = a_1\left[\dfrac{\not{q^k}-1 + q^{k+1}-\not{q^k}}{q-1}\right]\\ \\ \\ S_{k+1}=\dfrac{a_1\cdot(q^{k+1}-1)}{q-1}$

Que é justamente nossa tese. Está provado. $\blacksquare$

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