Alguém me tira uma dúvida aqui sobre equação exponencial? Valendo 98 pts
Quantas raízes tem a equação exponencial
4^x-5.2^x-4=0
Respostas
4^x - 5*2^x - 4 = 0
Como 4^x = (2^x)² vem:
(2^x)² - 5*(2^x) - 4 = 0
Vamos fazer uma mudança de variável, a saber:
Seja 2^x = k , onde k é um número real qualquer.
Logo, ficamos com:
k² - 5k - 4 = 0
Δ = (-5)² - 4(1)(-4) = 25 + 16 = 41
√Δ = √41 > 0
Sem dúvida, √41 é um valor numérico positivo.
k₁ = (5 + √41) / 2
k₂ = (5 - √41) / 2
Vamos pensar um pouco. Com certeza, (5 + √41) / 2 é um valor numérico positivo.
Todavia, (5 - √41) / 2 é um valor negativo, pois √41 > √25 = 5 e, portanto, (5 - √41)/2 será negativo.
Ao fazermos 2^x = k₂, teremos um absurdo, pois 2^x sempre será um número positivo.
Entretanto, 2^x = k₁ ---> 2^x = (5 + √41) / 2
Essa igualdade pode existir, não há nenhum absurdo. Mas entenda que o objetivo da questão não é encontrar a raiz x, mas sim o número de soluções de x.
Para 2^x = (5 + √41) / 2 haverá uma solução única, um único valor para x que satisfaz isso.
A questão terminou.
Observação: Não temos como calcular isso sem o auxílio de uma calculadora científica.
Porém, com o auxílio da mesma, o valor de x seria, transformando a equação exponencial em uma equação logarítmica:
x = log ₂ [ ( 5 + √41 ) / 2 ]
Usando a propriedade de mudança de base para colocar o logaritmo em base 10, teríamos:
x = log [ ( 5 + √41 ) / 2 ] / log 2
Agora sim, achamos x por uma calculadora científica. O que eu quero mostrar é que a raiz é perfeitamente "encontrável" .