Question

dados os pontos A(x,3),B(-1,4) e C(5,2),obtenha o valor real de x de modo que o ponto A seja equidistante dos pontos B e C.

Answer 1

Se o ponto $A\left(x,\,3 \right )$ é equidistante dos pontos $B\left(-1,\,4 \right )$ e $C\left(5,\,2 \right )$, então a distância entre $A$ e $B$ é igual à distância entre $A$ e $C$:

$d_{_{AB}}=d_{_{AC}}\\ \\ \sqrt{\left(x_{_{B}}-x_{_{A}} \right )^{2}+\left(y_{_{B}}-y_{_{A}} \right )^{2}}=\sqrt{\left(x_{_{C}}-x_{_{A}} \right )^{2}+\left(y_{_{C}}-y_{_{A}} \right )^{2}}\\ \\ \sqrt{\left(-1-x \right )^{2}+\left(4-3 \right )^{2}}=\sqrt{\left(5-x \right )^{2}+\left(2-3 \right )^{2}}\\ \\ \sqrt{\left(1+2x+x^{2} \right )+\left(1 \right )^{2}}=\sqrt{\left(25-10x+x^{2} \right )+\left(-1 \right )^{2}}\\ \\ \sqrt{1+2x+x^{2}+1}=\sqrt{25-10x+x^{2}+1}\\ \\ \sqrt{x^{2}+2x+2}=\sqrt{x^{2}-10x+26}\\ \\ \left(\sqrt{x^{2}+2x+2} \right )^{2}=\left(\sqrt{x^{2}-10x+26} \right )^{2}\\ \\ x^{2}+2x+2=x^{2}-10x+26\\ \\ \diagup\!\!\!\!\! x^{2}-\diagup\!\!\!\!\! x^{2}+2x+10x=26-2\\ \\ 12x=24\\ \\ x=\dfrac{24}{12}\\ \\ x=2$

Answer 2

$(a_x - b_x)^2 + (a_y - b_y)^2= (a_x - c_x)^2 + (b_y + c_y)^2 \\ \\ \\ (x - (-1))^2 + (3 - 4)^2= (x - 5)^2 + (3 - 2)^2 \\ \\ (x +1)^2 + (-1)^2= (x - 5)^2 + (1)^2 \\ \\ x^2 + 2x + 1 + 1= x^2 - 10x + 25 + 1 \\ \\ x^2 + 2x + 2= x^2 - 10x + 26$

$x^2 -x^2 + 2x + 10x = 26 - 2 \\ \\ 12x = 24 \\ \\ x = \dfrac{24}{12} \\ \\ \\=> x = 2$