Question

se A={-2≤x≤2},B={-5≤x≤5} e f:A é contradomínio de B definida pela lei y=2x+1,quantos são os elementos de B que não pertencem ao conjunto imagem da função , sendo que os números de A e B são inteiros (Z) ?

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\begin{array}{ll} f:&A\rightarrow B\\ &x \mapsto 2x+1 \end{array}$


Os elementos que formam o conjunto imagem de $f$ são todos os valores que $f\left(x\right)$ pode assumir, quando fazemos $x$ assumir cada um dos valores pertencentes ao domínio de $f$, que é o conjunto $A$.


O domínio de $f$ é o conjunto

$A=\left\{-2,\,-1,\,0,\,1,\,2 \right \}$


O contradomínio de $f$ é o conjunto

$B=\left\{-5,\,-4,\,-3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5 \right \}$


Vamos encontrar os elementos do conjunto imagem de $f$:

$\bullet\;\;$ para $x=-2$

$f\left(-2 \right )=2\cdot \left(-2 \right )+1\\ \\ f\left(-2 \right )=-4+1\\ \\ f\left(-2 \right )=-3$


$\bullet\;\;$ para $x=-1$

$f\left(-1 \right )=2\cdot \left(-1 \right )+1\\ \\ f\left(-1 \right )=-2+1\\ \\ f\left(-1 \right )=-1$


$\bullet\;\;$ para $x=0$

$f\left(0 \right )=2\cdot \left(0 \right )+1\\ \\ f\left(0 \right )=0+1\\ \\ f\left(0 \right )=1$


$\bullet\;\;$ para $x=1$

$f\left(1 \right )=2\cdot \left(1 \right )+1\\ \\ f\left(1 \right )=2+1\\ \\ f\left(1 \right )=3$


$\bullet\;\;$ para $x=2$

$f\left(2 \right )=2\cdot \left(2 \right )+1\\ \\ f\left(2 \right )=4+1\\ \\ f\left(2 \right )=5$


Logo, o conjunto imagem de $f$ é

$\mathrm{Im}\left(f \right )=\left\{-3,\,-1,\,1,\,3,\,5 \right \}$


A questão pede quantos são os elementos de $B$ que não pertencem a $\mathrm{Im}\left(f \right )$, ou seja, quantos são os elementos do conjunto

$B-\mathrm{Im}\left(f \right )$


O conjunto acima é formado por todos os elementos de $B$ que não são elementos de $\mathrm{Im}\left(f \right )$:

$B-\mathrm{Im}\left(f \right )=\left\{-5,\,-4,\,-2,\,0,\,2,\,4 \right \}$

e este conjunto possui $6$ elementos.