Question

Um ponto P(a,2) é equidistante dos pontos A(3,1)e B(2,4).Calcule a abscissa do ponto P.

Answer 1

Dpa = √(a-3) ² + (2-1) ²
Dpa = √a²-6a+9+1
Dpa = √a²-6a+10

Dpb = √(a-2) ² + (2-4) ²
Dpb = √a²-4a+4+4
Dpb = √a²-4a+8

Iguale Dpa com Dpb
√a²-6a+10 = √a²-4a+8
a²-6a+10 = a²-4a+8
-6a+10 = -4a+8
2a = 2
a = 1

Answer 2

Se o ponto P é equidistante dos ponto A e B, significa que a distância de P a A é igual a distância de P a B.

Usando a fórmula da distância entre dois pontos, temos:

Distância de P a A

$d_{PA} = \sqrt{({x_{P -} x_{A} }) ^{2} + ({y_{P -} y_{A} }) ^{2 }}\\d_{PA} = \sqrt{({a{ -} 3_{} }) ^{2} + ({2{ -} 1{} }) ^{2 }}\\d_{PA} = \sqrt{({a{ -} 3_{} }) ^{2} + 1 ^{2 }}\\d_{PA} = \sqrt{({a{ -} 3_{} }) ^{2} + 1 }$

Distância de P a B

$d_{PB} = \sqrt{({x_{P -} x_{B} }) ^{2} + ({y_{P -} y_{B} }) ^{2 }}\\d_{PB} = \sqrt{({a{ -} 2_{} }) ^{2} + ({2{ -} 4{} }) ^{2 }}\\d_{PB} = \sqrt{({a{ -} 2_{} }) ^{2} + (-2) ^{2 }}\\d_{PB} = \sqrt{({a{ -} 2_{} }) ^{2} + 4 }$

Agora, igualamos as duas expressões.

$d_{PA} = d_{PB}\\\sqrt{({a{ -} 3_{} }) ^{2} + 1 } = \sqrt{({a{ -} 2_{} }) ^{2} + 4 }$

Elevando os dois termos da equação ao quadrado, eliminamos as raízes.

Assim, fica:

(a - 3)² + 1 = (a - 2)² + 4

a² - 6a + 9 + 1 = a² - 4a + 4 + 4

a² - 6a + 10 = a² - 4a + 8

a² - a² - 6a + 4a = 8 - 10

- 2a = - 2

2a = 2

a = 1

Portanto, a abscissa do ponto P é 1.