Respostas
Vamos lá.
Veja, Dalva, que a resolução, embora simples, mas é meio trabalhosa, pois envolve multiplicação de matrizes e depois a formação de sistemas, o que sempre dá um certo trabalho.
i) Pede-se o valor do determinante da matriz inversa da matriz A abaixo:
........|2.....0.....1|
A = |1.....1.....2|
......|1.....2.....3|
ii) Para encontrar a inversa, vamos multiplicar a matriz "A" acima pela matriz A⁻¹, que chamaremos assim:
..........|a.....b.....c|
A⁻¹ = |d.....e.....f|
.........|g.....h.....i|
E, ao fazermos o produto dessas duas matrizes, igualaremos à matriz identidade de ordem "3". Assim, fazendo isso, teremos:
|2.....0.....1|*|a.....b.....c| = |1.....0.....1| = |2*a+0*d+1*g.....2*b+0*e+1*h.....2*c+0*f+1*i|
|1.....1.....2|*|d.....e.....f| = |0.....1.....0| = |1*a+1*d+2*g.......1*b+1*e+2*h.......1*c+1*f+2*i|
|1.....1.....3|*|g.....h.....i| = |0.....0.....1| = |1*a+1*d+3*g.......1*b+1*e+3*h........1*c+1*f+3*i|
Trabalhando-se apenas com o resultado acima, teremos a seguinte matriz de A*A⁻¹ e depois a igualaremos à matriz identidade de ordem 3.
...............|2a+g...........2b+h.........2c+i| = |1.....0.....0|
A*A⁻¹ = |a+d+2g....b+e+2h....c+f+2i| = |0....1.....0|
.............|a+d+3g....b+e+3h....c+f+3i| = |0.....0.....1|
Agora basta igualar cada elemento da matriz-produto encontrada ao respectivo elemento da matriz identidade. Assim, teremos:
2a+g = 1 ----> g = 1-2a . (I)
2b+h = 0 ---> h = - 2b . (II)
2c+i = 0 ---> i = - 2c . (III)
a+d+2g = 0 . (IV)
b+e+2h = 1 . (V)
c+f +2i = 0 . (VI)
a+d+3g = 0 . (VII)
b+e+3h = 0 . (VIII)
c+f+3i = 1 . (IX)
iii) Após resolvermos o sistema acima (como deu trabalho) chegamos à seguinte conclusão:
a = 1/2; b = -1/2; c = -1/2; d = -1/2; e = -1/2; f = -3/2; g = 0; h = 1; i = 1.
Logo, a matriz inversa será esta e já colocando-a na forma de desenvolver para encontrar o valor do seu determinante (regra de Sarrus):
...........|1/2....-1/2....-1/2|1/2.....-1/2|
A⁻¹ = |-1/2...-1/2...-3/2|-1/2...-3/2| ---- encontrando o determinante (d), temos:
.........|0.........1............1|0.............1|
d = (1/2)*(-1/2)*1 + (-102)*(-3/2)*0 + (-1/2)*(-1/2)*1 - [0*(-1/2)*(-1/2)+1*(-3/2)*(1/2)+1*(-1/2)*(-1/2)] ---- desenvolvendo, teremos:
d = -1/4 + 0 + 1/4 - [0 - 3/4 + 1/4] --- ou apenas:
d = -1/4 + 1/4 - [-3/4 + 1/4] ---- note que "-1/4+1/4 = 0"; e "-3/4+1/4 = -2/4". Logo:
d = 0 - [- 2/4] ---- retirando-se os colchetes, iremos ficar apenas com:
d = 0 + 2/4 --- ou apenas:
d = 2/4 ---- simplificando-se tudo por "2", iremos ficar apenas com:
d = 1/2 <--- Esta é a resposta. Opção "b".
É isso aí.
OK?
Adjemir.
Resposta:
1/2
Explicação passo-a-passo:
Vamos lá.. existe outra forma mais fácil de resolver.
Considere que vc pode achar a matriz inversa e calcular a determinante, ou simplesmente calcule primeiro a determinante e inverter (elevado a -1) o resultado, ou seja:
Det A = (2x1x3 + 2x0x1 + 1x1x1) - (1x1x1 + 1x0x3 + 2x1x2)
Det A = (6 + 0 + 1) - (1 + 0 +4)
Det A = 7 - 5 = 2
A inversa da Det A = DetA^-1 = 1/DetA; logo
Se DetA = 2; a inversa é 1/2:
DetA^-1 (inversa) = 1/2