Respostas
Vamos lá.
Veja, Marcelfilipe, que a resolução é simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se para dar exemplos de três equações do segundo grau e usar a fórmula de Bháskara para encontrar as suas raízes.
ii) Então vamos arbitrar três equações quaisquer, do 2º grau, e vamos aplicar a fórmula de Bháskara. E vamos aproveitar a ocasião e vamos dar exemplos de com duas raízes reais e diferentes, com duas raízes reais e ambas iguais e sem nenhuma raiz real (mas apenas raízes complexas).
a) x² - 3x + 2 = 0 ----- aplicando a fórmula de Bháskara, teremos:
x = [-b ± √(Δ)]/2a ----- sendo Δ = b²-4ac. ---- substituindo-se, teremos:
x = -b ± √(b²-4ac)]/2a
Note que a equação do 2º grau deste item "a" tem os seguintes coeficientes: a = 1 --- (é o coeficiente de x²); b = -3 --- (é o coeficiente de x); c = 2 --- (é o coeficiente do termo independente). Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula de Bháskara acima, teremos (vide coeficientes):
x = [-(-3) ± √(-3)² - 4*1*2)]/2*1 ---- desenvolvendo, teremos:
x = [ 3 ± √(9 - 8)]/2 --- desenvolvendo, temos:
x = [3 ± √(1)]/2 ---- como √(1) = 1, teremos:
x = [3 ± 1]/2 ---- daqui você já conclui que:
x' = (3-1)/2 = (2)/2 = 2/2 = 1
x'' = (3+1)/2 = (4)/2 = 4/2 = 2.
Assim, como você viu aí em cima, as raízes da equação do nosso exemplo do item "a" são estas:
x' = 1 e x'' = 2 <--- Esta é a resposta para a equação do item "a", que é a equação do nosso 1º exemplo . Ou seja, neste exemplo colocamos uma equação que tem duas raízes reais e diferentes.
b) x² - 10x + 25 = 0 ----- Vamos aplicar a fórmula de Bháskara, ficando:
x = [-b ± √(Δ)]/2a ---- sendo Δ = b²-4ac. ---- Assim, substituindo, teremos:
x = [-b ± √(b²-4ac)]/2a
Note que os coeficientes da equação do item "b" são estes: a = 1 --- (é o coeficiente de x²); b = -10 --- (é o coeficiente de x); c = 25 --- (é o coeficiente do termo independente).
Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula de Bháskara acima (vide coeficientes), teremos:
x = [-(-10) ± √(-10)² - 4*1*25)]/2*1 --- desenvolvendo, temos:
x = [10 ± √(100 - 100)]/2 --- Continuando, temos:
x = [10 ± √(0)]/2 ----- como √(0) = 0, teremos:
x = [10 ± 0]/2 --- daqui você já conclui que:
x' = (10-0)/2 = (10)/2 = 10/2 = 5
x'' = (10+0)/2 = (10)/2 = 10/2 = 5.
Assim, como você viu, a equação do 2º grau do nosso segundo exemplo tem duas raízes reais e ambas iguais a "5", ou seja, temos:
x' = x'' = 5 <--- Esta é a resposta para o item "b", que é a equação do 2º grau do nosso segundo exemplo. Neste exemplo temos duas raízes reais e ambas iguais.
c) x² - 4x + 5 = 0 --- aplicando a fórmula de Bhaskara, teremos:
x = [-b ±√(Δ)]/2a ---- sendo Δ = b²-4ac. ---- Assim, substituindo, temos:
x =- [-b ± √(b²-4ac)]/2a
Veja que os coeficientes da equação do nosso 3º exemplo são estes: a = 1 --- (é o coeficiente de x²); b = -4 --- (é o coeficiente de x); c = 5 --- (é o coeficiente do termo independente).
Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula de Bháskara acima, teremos:
x = [-(-4) ± √((-4)² - 4*1*5]/2*1 --- desenvolvendo, teremos:
x = [4 ± √(16-20)]/2 ----- continuando o desenvolvimento, teremos:
x = [4 ± √(-4)]/2
Agora veja: no âmbito dos números reais não existe raiz quadrada de números negativos. Então se você estiver encontrando as raízes no campo dos reais, bastaria você parar aqui e dizer: esta equação não tem raízes reais. Contudo, se você estiver encontrando as raízes no âmbito dos complexos, então você continua desenvolvendo. Então, retomando de onde ficou aí em cima, temos isto:
x = [4 ± √(-4)]/2 ---- note que √(-4) = √(4)*√(-1). Assim, substituindo, temos;
x = [4 ± √(4)*√(-1)]/2 ---- como √(4) = 2, teremos:
x = [4 ± 2*√(-1)]/2 ---- nos complexos tem-se que √(-1) = i. Assim, substituindo, temos:
x = [4 ± 2i]/2 ---- ou, dividindo-se cada fator do numerador pelo denominador "2", ficamos:
x = [4/2 ± 2i/2 ---- efetuando as divisões indicadas, teremos:
x = [2 ± i] ----- daqui você já conclui que a equação do nosso 3º exemplo não tem raízes reais, mas tem duas raízes complexas que são estas:
x' = 2-i e x'' = 2+i <--- Esta é a resposta para o item "c", que é a equação do nosso 3º exemplo. Neste exemplo temos uma equação do 2º grau que não tem raízes reais, mas apenas raízes complexas.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
Ok?
Adjemir.