Question

Muitos problemas práticos da Engenharia podem ser representados por conceitos teóricos e abstratos que podem não ser simples, mas auxiliam na resolução dos problemas de forma mais direta.
Uma certa indústria trabalha com chapas metálicas e deseja saber como elas estão dispostas no espaço. As equações abaixo correspondem a plano que definem a posição de cada chapa metálica:

Chapa 1: x - y + 2z + 1 = 0
Chapa 2: 3x + y - z + 1 = 0
Chapa 3: 2x -2y + 4z + 5 = 0

Sobre estas chapas afirma-se:

I) A chapa 1 é perpendicular à chapa 2.
II) A chapa 2 é perpendicular à chapa 3.
III) A chapa 3 é paralela à chapa 1.
IV) A reta de intersecção entre as chapas 1 e 2 é definida por:

$r: \left[\begin{array}{ccc}x=-t\\y=-3+7t\\z=-2+4t\end{array}\right$

Texto elaborado pelo Professor, 2018.

Assinale a alternativa correta:
Alternativas

Alternativa 1:
I, II, III e IV.

Alternativa 2:
I, II e III, apenas.

Alternativa 3:
II, III e IV, apenas.

Alternativa 4:
I, III e IV, apenas.

Alternativa 5:
I, II e IV, apenas.

Answer 1

Sendo os planos

1: x - y + 2z + 1 = 0

2: 3x + y - z + 1 = 0

3: 2x - 2y + 4z + 5 = 0

vamos analisar cada afirmativa:

I) A afirmativa está correta.

O vetor normal do plano 1 é n1 = (1,-1,2) e o vetor normal do plano 2 é n2 = (3,1,-1).

O produto interno entre n1 e n2 é igual a:

<n1,n2> = 1.3 - 1.1 + 2.(-1)= 0

ou seja, o ângulo entre os vetores é igual a 90°.

Logo, os planos 1 e 2 são perpendiculares.

II) Perceba que podemos escrever o plano 3 da forma x - y + 2z = -5, ou seja, o vetor normal n3 é igual ao vetor normal n1.

Como visto acima, os vetores são perpendiculares. Logo, os planos 2 e 3 são perpendiculares.

A afirmativa está correta.

III) A afirmativa está correta, pois os vetores normais aos planos são iguais.

IV) A afirmativa está correta.

O produto vetorial n1 x n2 é igual ao vetor (-1,7,4) e o ponto (0,-3,-2) pertence aos dois planos.

Portanto, a alternativa correta é a alternativa 1.