Question

Considere a definição: “O conjunto de A é subconjunto próprio de B quando A está contido em B e A é diferente B”
- Determine quantos subconjuntos próprios tem:
a) Um conjunto de 5 elementos

b) Um conjunto de 10 elementos

c) Um conjunto unitário

d) O conjunto vazio

Answer 1

Olá, Kayo. Tudo bom?

Usaremos duas "coisinhas" (afirmações) para solucionar seu problema:

• O número de subconjuntos de um conjunto é dado pela fórmula $2^{n}$, onde n é o número de elementos do conjunto em questão;
• Todo conjunto é subconjunto dele mesmo.

Parece difícil? Veja como é fácil:

a) Quantos subconjuntos há em um conjunto que possui 5 elementos? Utilizemos a fórmula.

$2^{n} = 2^5$

Logo, nesse conjunto há 32 subconjuntos. Mas lembre-se: um deles é o próprio conjunto. Sendo assim, devemos subtrair 1 subconjunto desse total: 32 - 1 = 31 subconjuntos próprios.

b) Utilizamos o mesmo procedimento:

$2^{10} - 1$

1023 subconjuntos próprios.

c) Um conjunto unitário tem 2¹ subconjuntos: ele mesmo e o conjunto vazio, que é subconjunto de todos os conjuntos, inclusive dele mesmo. Da informação sublinhada, concluímos que deveremos subtrair 1 subconjunto. Restará, no fim, apenas 1: o conjunto vazio.

d) O conjunto vazio tem 1 subconjunto (de 2^0): ele mesmo. Com isso, como seu subconjunto é IGUAL a ele, o número de subconjuntos próprios de um conjunto vazio é zero.