Question

Em uma sorveteria, há x sabores de sorvete e y sabores de cobertura. Combinando um sabor de sorvete com dois ou três sabores de cobertura tem-se, respectivamente, 150 ou 200 diferentes opções de escolha. Assim, conclui-se que o número de sabores de cobertura disponível é:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7

Answer 1

Resposta:

Alternativa C

Explicação passo a passo:

Answer 2

Com o estudo da analise combinatória temos que o número de sabores de cobertura disponível é c)6

Combinação

Quando temo um conjunto com n elementos queremos agrupar não-ordenadamente m elementos distintos, escolhidos entre os n possíveis, diz-se que se trata de uma combinação simples de n elementos tomados m a m. Denota-se por $C_{n,m}$ ou simplesmente por $\begin{pmatrix}n\\ m\end{pmatrix}$ o número de combinações simples de n elementos tomados m a m. Sua representação algébrica é dada por

• $C_{n,m}=\frac{A_{n,m}}{P_m}=\frac{\frac{n!}{\left(n-m\right)!}}{m!}=\frac{n!}{m!\cdot \left(n-m\right)!}$

Propriedades

Podemos destacar algumas propriedades relativas aos números combinatórios

• $\begin{pmatrix}n\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\ n\end{pmatrix}=1$

• $\begin{pmatrix}n\\ m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\ n-m\end{pmatrix}$

• $\begin{pmatrix}n\\ m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\ m+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n+1\\ m+1\end{pmatrix}$

• $\sum _{i=0}^n\left(\begin{pmatrix}n\\ i\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}n\\ 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\ 2\end{pmatrix}+_{....}+\begin{pmatrix}n\\ n-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\ n\end{pmatrix}=2^n$

Sendo  x o n° de sorvetes e y o n° de cobertura, podemos montar um sistema de combinações possíveis entre o n° de sorvetes e o n° de coberturas. Com isso o n° de combinações será: $x\cdot C_{y,2}\:ou\:x\cdot C_{y,3}$. Daí podemos montar o seguinte sistema.

Onde a primeira equação representa o n° de sorvetes multiplicado pela combinação de coberturas tomado 2 a 2 e a segunda equação representa o n° de sorvetes multiplicado pela combinação de coberturas tomado 3 a 3.

Utilizando a fórmula da combinação $C_{n,m}=\frac{A_{n,m}}{P_m}=\frac{\frac{n!}{\left(n-m\right)!}}{m!}=\frac{n!}{m!\cdot \left(n-m\right)!}$, teremos

• $\begin{cases}x\cdot C_{y,2}=\frac{xy\left(y-1\right)}{2}=150&\\ x\cdot C_{y,3}=\:\frac{xy\left(y-1\right)\left(y-2\right)}{6}=200&\end{cases}$

Dividindo a primeira equação pela segunda equação

$\frac{\frac{xy\left(y-1\right)}{2}}{\frac{xy\left(y-1\right)\left(y-2\right)}{6}}$

$\mathrm{Aplicar\:as\:propriedades\:das\:fracoes}:\quad \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a\cdot \:d}{b\cdot \:c}$

• $=\frac{xy\left(y-1\right)\cdot \:6}{2xy\left(y-1\right)\left(y-2\right)}$

• $=\frac{y\left(y-1\right)\cdot \:6}{2y\left(y-1\right)\left(y-2\right)}$

• $=\frac{\left(y-1\right)\cdot \:6}{2\left(y-1\right)\left(y-2\right)}$

• $=\frac{6}{2\left(y-2\right)}$

• $=\frac{3}{y-2}$

Sendo assim, teremos

• $\frac{3}{y-2}=\frac{150}{200}$

• $600=\left(y-2\right)\cdot \:150$

• $\left(y-2\right)\cdot \:150=600$

• $\frac{\left(y-2\right)\cdot \:150}{150}=\frac{600}{150}$

• $y-2=4$

• $y-2+2=4+2$

• $y=6$

Saiba mais sobre analise combinatoria:https://brainly.com.br/tarefa/13214145

#SPJ2