Um reservatório de forma cilíndrica (cilindro circular reto) de altura 30 cm e raio R foi seccionado por um plano vertical, passando pelo centro das bases. Sabendo-se que o volume do sólido vale 120 π cm³, determine a área da seção formada pelo corte, em cm².
Respostas
Vamos lá.
Veja, Henrique, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Tem-se que um cilindro, de volume igual a 120π cm³ e de alturua igual a 30cm e de raio igual a "r" foi seccionado por um plano vertical passando pelo centro de suas duas bases (a de baixo e a de cima). Pede-se a área da seção formada por esse corte, em cm².
ii) Veja: antes vamos encontrar qual é o raio "r" desse cilindro. Note que a partir do seu volume (120π cm³) poderemos encontrar a medida do seu raio "r". Veja que o volume (V) de um cilindro é dado por:
V = π*r²*h, em que "V" é o volume, "r²" é o raio ao quadrado e "h" é a altura. Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:
120π = π*r²*30 --- note que já poderemos simplificar por π os dois membros, com o que ficaremos apenas com:
120 = r²*30 ---- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo, teremos:
30r² = 120 ------ isolando "r²":
r² = 120/30
r² = 4 ----- isolando "r", teremos:
r = ± √(4) ------ como √(4) = 2, teremos:
r = ± 2 ------ ficando apenas com a raiz positiva (pois o raio não pode ser negativo), teremos:
r = 2 cm <--- Esta é a medida do raio desse cilindro.
iii) Agora que já temos a medida do raio (2 cm), vamos calcular a área total (AT) do cilindro da sua questão. Veja que a área total (AT) de um cilindro é dada por:
AT = 2AB + AL . (I)
Na expressão (I) acima, temos que "AT" é a área total, "AB" é a área da base e "AL" é a área lateral. Vamos, então, encontrar qual é a área da base e qual é a área lateral.
iii.1) Cálculo da área da base (AB):
AB = π*r² ------ como já temos que r = 2, então teremos:
AB = π*2²
AB = π*4 ------ ou apenas:
AB = 4π cm² <--- Esta é a área da base.
iii.2) Cálculo da área lateral:
AL = 2*π*r*h ----- substituindo-se "r' por "2" e "h' por "30", teremos:
AL = 2*π*2*30 ------ ou, o que dá no mesmo:
AL = 2*2*30*π ---- desenvolvendo este produto, teremos;
AL = 120π cm² <---- Esta é a área lateral.
iii.3) Cálculo da área total (AT):
AT = 2AB + AL ----- fazendo as devidas substituições, teremos:
AT = 2*4π + 120π ----- desenvolvendo, temos:
AT = 8π + 120π ----- somando-se, teremos que:
AT = 128π cm² <--- Esta é a área total.
iv) Agora, finalmente, vamos ver qual é a área formadauma seção resultante do corte que seccionou o cilindro exatamente ao meio. Então é só tomar a área total acima e dividir por "2". Logo:
AT/2 = 128π/2
AT/2 = 64π cm² <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a área total do cilindro seccionado. Em outras palavras: esta é a área de uma seção do cilindro da sua questão.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.