Question

existe um polígono com 35 diagonais? e com 51 diagonais? justifique

Answer 1

$d=\frac{n.(n-3)}{2} ~~~~onde:\\ \\ d=numero~de~diagonais~do~poligono\\ n=numero~de~lados~do~poligono\\ \\ 35=\frac{n.(n-3)}{2} \\ \\ 35=\frac{n^{2}-3n}{2} \\ \\ n^{2} -3n=2.35\\ \\ n^{2} -3n-70=0$

Δ = b² - 4ac

Δ = 9 - 4.1.(-70)

Δ = 9 + 280

Δ = 289

$n=\frac{-b+-\sqrt{delta}}{2a} \\ \\ n=\frac{3+-\sqrt{289}}{2} \\ \\ n=\frac{3+-17}{2} \\\\n'=\frac{3+17}{2} =\frac{20}{2} =10\\ \\ n''=\frac{3-17}{2} =-7~(negativo)\\ \\ \\ n=n'=10\\ \\ O~poligono~com~35~diagonais~e~o~decagono~(10~lados)$

$51=\frac{n.(n-3)}{2} \\ \\ 51=\frac{n^{2}-3n}{2} \\ \\ n^{2} -3n=102\\ \\ n^{2} -3n-102=0$

Δ = b² - 4ac

Δ = 9 - 4.1.(-102)

Δ = 9 + 404

Δ = 413

$n=\frac{3+-\sqrt{413}}{2} \\ \\ \sqrt{413} =20,32\\ \\ conclusao:todo~poligono~possui~um~numero~(inteiro)~de~lados.\\ portanto,~nao~existe~poligono~com~11,66~lados.\\ \\ conclusao~final:nao~existe~poligono~com~51~diagonais$

Answer 2

A fórmula de diagonal é:

n(n-3) / 2, sendo "n" o números de lados:

n(n-3) / 2 = 35

n(n-3) = 2 . 35

n² - 3n - 70 = 0

n = 10 (Caso não saiba resolver equação do segundo grau, comenta que eu explico)

Você usa o mesmo raciocínio para as 51 diagonais:

n(n-3) / 2 = 51

n(n-3) = 102

n² - 3n - 102 = 0

n = não existe um número real, logo:

Existe um polígono com 35 diagonais (decágono), mas não existe um com 51 diagonais

Bons estudos!