Question

(AVA) U1 - Avaliação da Unidade

O Centro de Gravidade de uma figura é determinado pelas expressões a seguir:

Estas expressões permitem determinar as coordenadas do centro de gravidade de qualquer seção desde que se conheça um elemento dA representativo da superfície toda. São chamadas genericamente de "Teorema dos Momentos Estáticos".

Nos casos mais comuns, quando a superfície em estudo for a seção transversal de um elemento estrutural, normalmente seções constituídas por elementos de área conhecidos, pode-se substituir nas equações a integral por seu similar que é o somatório, e as expressões ficam:

Considere a figura a seguir, com medidas em mm.

Determinar o XG e YG da figura plana.

Escolha uma:
a.
XG = 39,7 mm; YG = 58,8 mm.

b.
XG = 58,8 mm; YG = 45,8 mm.

c.
XG = 50,8 mm; YG = 48,8 mm.

d.
XG =48,5 mm; YG = 45,8 mm.

e.
XG = 58,8 mm; YG = 39,7 mm. Correto

Answer 1

XG = 58,8 mm; YG = 39,7 mm. Correto

Answer 2

As coordenadas XG e YG do centro de gravidade elemento são respectivamente iguais a 58,8 mm e 39,7 mm, ou seja, a alternativa correta é a letra E.

Para calcular o centro de gravidade do elemento, iremos o separar em 5 figuras. Ver imagem em anexo.

Calculando a coordenada X do centro de gravidade:

$X=\dfrac{\sum x\cdot A}{\sum A}$

Calculado separadamente:

$\sum x \cdot A=(140~mm \cdot 50~mm)\cdot 70~mm+ (60~mm \cdot 50~mm)\cdot 30~mm-\pi\dfrac{25^2mm^2}{4}\cdot 30mm-\pi\dfrac{25^2mm^2}{4}\cdot 30mm-\pi\dfrac{25^2mm^2}{4}\cdot 100mm \\\\\\ \boxed{\begin{array}{lr}\boxed{\begin{array}{lr}\sum x \cdot A=501.460,1837~mm^3\end{array}}\end{array}}$

$\sum A=140~mm \cdot 50~mm+ 60~mm \cdot 50~mm-\pi\dfrac{25^2mm^2}{4}-\pi\dfrac{25^2mm^2}{4}-\pi\dfrac{25^2mm^2}{4} \\\\\\ \boxed{\begin{array}{lr}\boxed{\begin{array}{lr}\sum A=8.527,3784~mm^2\end{array}}\end{array}}$

Substituindo na equação:

$X=\dfrac{\sum x\cdot A}{\sum A}=\dfrac{501.460,1837~mm^3}{8.527,3784~mm^2}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{lr}\boxed{\begin{array}{lr}X=58,8~~mm\end{array}}\end{array}}$

Para Y:

$\sum y \cdot A=(140~mm \cdot 50~mm)\cdot 25~mm+ (60~mm \cdot 50~mm)\cdot 75~mm-\pi\dfrac{25^2mm^2}{4}\cdot 75mm-\pi\dfrac{25^2mm^2}{4}\cdot 25mm-\pi\dfrac{25^2mm^2}{4}\cdot 25mm \\\\\\ \boxed{\begin{array}{lr}\boxed{\begin{array}{lr}\sum y \cdot A=338.640,7685~mm^3\end{array}}\end{array}}$

Substituindo na equação:

$Y=\dfrac{\sum y\cdot A}{\sum A}=\dfrac{338.640,7685~mm^3}{8.527,3784~mm^2}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{lr}\boxed{\begin{array}{lr}Y=39,7~~mm\end{array}}\end{array}}$

Portanto, o centro de gravidade do elemento está localizado na coordenada 58,80 mm, 39,7 mm.

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