Question

Determine a posição relativa entre as retas dadas e a circunferência X^2-10x+y^2+6y+29=0a)m:y-x-1=0b)S:y+4x-7=0

Answer 1

Primeiramente, vamos escrever a a equação da circunferência x² - 10 + y² + 6y + 29 = 0 na forma reduzida.

Para isso, precisamos completar quadrado:

x² - 10x + 25 + y² + 6y + 9 = -29 + 25 + 9

(x - 5)² + (y + 3)² = 5

Temos então uma circunferência com centro em (5,-3) e raio igual a √5.

Para sabermos a posição relativa entre as retas e a circunferência, vamos calcular a distância entre o centro e às retas.

Se a distância for igual ao raio, então a reta é tangente á circunferência.

Se a distância for menor que o raio, então a reta é secante à circunferência.

Se a distância for maior que o raio, então a reta não passa pela circunferência.

a) Sendo -x + y = 1, temos que:

$d =\frac{|(-1).5 + 1.(-3) -1|}{\sqrt{1^2+1^2}}$

$d=\frac{9}{\sqrt{2}}$

d ≈ 6,36

Como d > √5, então a reta é exterior à circunferência.

b) Sendo 4x + y - 7 = 0, temos que:

$d =\frac{|4.5+1.(-3)-7|}{\sqrt{4^2+1^2}}$

$d=\frac{10}{\sqrt{17}}$

d ≈ 2,43

Como d > √5, então a reta é exterior à circunferência.