Question

Três números estão em PA, a soma deles é 18 e o produto 120. Calcule esses números

Answer 1

Olá!

Sejam r a razão dessa PA e x o termo central. Assim, o primeiro termo é x - r e o terceiro termo é x + r.

A PA é então:

(x - r, x , x + r)

Como a soma desses três números é 18, segue que:

$x - r + x + x + r = 18 \\ 3x = 18 \\ x = \frac{18}{3} \\ x = 6$

O produto desses três números é 120, daí:

$(x - r)(x)(x + r) = 120$

Como x = 6, vem que:

$(6 - r) \times 6 \times (6 + r) = 120 \\ (6 - r)(6 + r) \times 6 = 120 \\ (6 - r)(6 + r) = \frac{120}{6} \\ (6 - r)(6 + r) = 20$

Lembrando que:

$(a - b)(a + b) = {a}^{2} - {b}^{2}$

temos:

${6}^{2} - {r}^{2} = 20 \\ {6}^{2} - 20 = {r}^{2} \\ 36 - 20 = {r}^{2} \\ 16 = {r}^{2} \\ r = 4 \: ou \: r = - 4$

• Se r = 4, então a PA será:

(2, 6, 10)

• Se r = - 4, a PA será:

(10, 6, 2)

Ou seja, os três números são 2, 6 e 10.