Question

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = raiz quarta de X, no ponto de abscissa X=256.

Answer 1

Primeiramente, precisamos da derivada da função:

$f'(x) = \dfrac{d(\sqrt[4]{x})}{dx} = \dfrac{d(x^{(1/4)})}{dx} = \dfrac{1}{4}*x^{(1/4-1)} \\\\   f'(x) = \dfrac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$

Ao substituir a abcissa x = 256, encontramos que f'(256) é:

$f'(256) = \dfrac{1}{4\sqrt[4]{256^3}} \\\\f'(256) = \dfrac{1}{4\sqrt[4]{(2^8)^3}} \\ \\  f'(256) = \dfrac{1}{4\sqrt[4]{2^{24}}}\\\\  f'(256) = \dfrac{1}{4(2^6)} \\ \\ f'(256) =\dfrac{1}{256}$

Este valor é igual ao coeficiente angular da reta tangente neste ponto, então podemos aplicar a equação geral abaixo:

y - y0 = m(x - x0)

sendo que x0 equivale a 256 e y0 equivale a f(256):

f(256) = 256^(1/4)

f(256) = 4

Então, temos:

y - 4 = (1/256)(x - 256)

y - 4 = x/256 - 1

y - 3 = x/256

256y - 768 = x

A equação da reta tangente no ponto x = 256 será: 256y - x = 768