Question

Encontre uma base ortonormal para o plano x + y + z = 0.

Answer 1

A equação do plano pode ser escrita como:  

nx (x - xo) + ny (y - yo) + nz (z - zo) = 0  

onde n = {nx , ny , nz} corresponde ao vetor normal ao plano.  

Analisando a equação do plano, obtemos o seguinte vetor normal ao plano:  

n1 = {1 , 1 , 1}  

Qualquer vetor contido no plano será perpendicular ao vetor n1, por exemplo:  

n2 = {1 , 0 , 0}  

Observe que n2 satisfaz a equação do plano x + y + z = 0.  

Agora basta encontrar um terceiro vetor perpendicular a n1 e n2 simultaneamente.  

Isso pode ser feito através do seguinte produto vetorial:  

n3 = n1 x n2 = {0, 1, -1}  

Finalmente, uma possível base ortonormal é:  

n1 = {1 , 1 , 1}  

n2 = {1 , 0 , 0}  

n3 = {0, 1, -1}