Question

Encontre a solução do PVI (Problema de valor inicial). y'(x).y(x) = -x y(0) = 1 x2 + y2 = 4 9x2 + 4y2 = 1 2x2 + y2 = 1 x2 + 4y2 = 9 x2 + y2 = 1

Answer 1

É dada a seguinte EDO:

$y'(x)\cdot y(x) = -x$

Podemos reescrevê-la de outro modo:

$\dfrac{dy}{dx}\cdot y = -x$

Note que a equação é separável. Desse modo, basta colocarmos cada lado em função de apenas uma variável e integrar nessa respectiva variável. Veja:

$\dfrac{dy}{dx}\cdot y = -x\\\\ \displaystyle \int y\,dy=-\int x\,dx\\\\ \dfrac{y^2}{2}=-\dfrac{x^2}{2}+C_0\\\\ y^2+x^2 = \underbrace{2C_0}_{=C_1}\\\\ x^2+y^2 = C_1$

Agora, para descobrirmos o valor da constante C₁, devemos substituir o ponto conhecido da função, isto é, y(0) = 1:

$x^2+y^2 = C_1\\\\ 0^2 + 1^2 = C_1\\\\ C_1 = 1$

Portanto:

$\boxed{x^2+y^2 = 1}$