A figura a seguir corresponde à planificação de um prisma regular hexagonal de altura 2a e perímetro da base igual a 3a. Determine a distância entre os pontos P e Q do prisma
Respostas
Parece que você se esqueceu de colocar a foto do prisma. Segue em anexo.
Observemos o prisma planificado.
> Marcamos um ponto R na aresta que contém o ponto P e a mesma distância da base que tem o ponto Q.
> Como o perímetro da base vale 3a, então cada lado do hexágono mede:(3a)/6 = a/2.
> O segmento RQ mede: 3×a/2 = 3a/2
Pela figura, percebemos dois triângulos semelhantes, logo suas medidas correspondentes são proporcionais. Então:
PR está para RQ assim como 2a está para 3a
PR / RQ = 2a / 3a
PR / 3a/2 = 2 / 3
3.PR = 2.3a/2
3.PR = 3a
PR = 3a/3
PR = a
Agora, temos que observar o prisma montado, pois o valor de PQ pedido no problema não é o mostrado na planificação, mas no prisma montado.
> Como o raio do hexágono inscrito possui a mesma medida do lado, r = a/2.
> PR é perpendicular a RQ.
> P e Q estão em arestas opostas cuja distância é o diâmetro “a” da circunferência que circunscreve a base. Logo, RQ = a.
Como o triângulo PQR é retângulo, utilizamos o Teorema de Pitágoras para encontrar a medida PQ.
Representei a medida PQ por x.
x² = PR² + RQ²
x² = a² + a²
x² = 2a²
x = √2a²
x = a√2
Portanto, PQ = a√2.
