Question

Questão de limite. Letra i. Resposta detalhada por favor

Answer 1

Seguinte moleque, tem um limite fundamental que vai ser útil na resolução desse limite em questão,

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{ln(x+1)}{x} = 1$

Vamos tentar manipular o limite da letra i) para chegar nesse limite fundamental, mas primeiro vamos preparar o terreno, tem uma propriedade da potenciação que diz o seguinte:

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$

Usando isso na letra i), fica:

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \sqrt[x]{1 - 2x} = \displaystyle\lim_{x \to 0} (1-2x)^{\frac{1}{x}}$

Agora vamos usar uma definição matemática que diz que a composição de uma função com a sua inversa é igual a função identidade, e vamos usar a composição da função exponencial com a sua inversa.

$x=e^{ln(x)}$

Usando essa definição na letra i), fica

$\displaystyle\lim_{x \to 0} (1-2x)^{\frac{1}{2}} = \displaystyle\lim_{x \to 0} e^{ln(1-2x)^{\frac{1}{x}}}$

Usando uma propriedade dos logaritmos que diz que

$log_ab^x = x\cdot log_ab$

O nosso limite ficara assim,

$\displaystyle\lim_{x \to 0} e^{ln(1-2x)^{\frac{1}{x}}} = \displaystyle\lim_{x \to 0} e^{\frac{ln(1-2x)}{x}}$

E mais uma vez vamos usar uma propriedade, dessa vez dos limites,

$\text{Dado o seguinte limite} \\ \\ \displaystyle\lim_{x \to a} f(g(x)) \\ \\ \text{Se f for uma fun{\c c}\~ao cont\'inua em a, ent\~ao} \\ \\ \displaystyle\lim_{x \to a} f(g(x) = f(\displaystyle\lim_{x \to a} g(x))$

Deixando nosso limite assim,

$\displaystyle\lim_{x \to 0} e^{\frac{ln(1-2x}{x}} = e^{\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{ln(1-2x)}{x}}$

Agora vamos deixar o e de lado e vamos trabalhar só com o limite, no final a gente volta pro e

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{ln(1-2x)}{x}$$\\ \text{Agora vamos manipular esse limite para deixa-lo igual ao la de cima} \\ \\ \text{Fazendo uma troca de vari\'avel, vamos chamar o -2x = u} \Rightarrow x = -\dfrac{u}{2} \text{ e quando x } \rightarrow 0, u \rightarrow 0, \text{fazendo a troca no limite, fica}$$\displaystyle\lim_{u \to 0} \dfrac{ln(u+1)}{-\frac{u}{2}} = \displaystyle\lim_{u \to 0} -2\dfrac{ln(u+1)}{u} =  -2 \cdot \displaystyle\lim_{u \to 0} \dfrac{ln(u+1)}{u} = -2 \cdot 1=-2$

Agora que achamos o valor do limite vamos voltar para e

$e^{\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{ln(1-2x)}{x}}=e^{-2} = \dfrac{1}{e^2}$

Então

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \sqrt[x]{1 -2x} = \dfrac{1}{e^2}$

Taí bem detalhado kkkk

Bons estudos!!!