Question

DETERMINE O MAIOR DENTRE OS NÚMEROS ∛₃ E ⁴√₄ :

Answer 1

Podemos resolver isso utilizando logaritmos:

$x=log~\sqrt[3]{3}\\\\x=log~3^{1/3}\\\\x=\frac{1}{3}\cdot log~3$
__

$y=log~\sqrt[4]{4}\\\\y=log~(2^{2})^{1/4}\\\\y=\frac{1}{2}\cdot log~2$
__

Achando a razão x / y:

$\dfrac{x}{y}=\dfrac{\frac{1}{3}\cdot log~3}{\frac{1}{2}\cdot log~2}=\dfrac{2}{3}\cdot log_{2}(3)\\\\\\\dfrac{x}{y}=log_{2}(3^{2/3})=log_{2}(\sqrt[3]{3^{2}})=log_{2}(\sqrt[3]{9})$

Analisando raiz cúbica de 9:

$\sqrt[3]{9}>\sqrt[3]{8}\\\sqrt[3]{9}<\sqrt[3]{27}$

Logo:

$\sqrt[3]{8}<\sqrt[3]{9}<\sqrt[3]{27}\\2<\sqrt[3]{9}<3$
____________________

Então sabemos que log de raiz cubica de 9 na base 2 é maior que 1, já que raiz cúbica de 9 é maior que 2

Se a razão entre dois números é maior que 1, é claro que o numerador é maior que o denominador, logo:

$x>y\\log~(\sqrt[3]{3})>log~(\sqrt[4]{4})$

Que implica:

$\boxed{\boxed{\sqrt[3]{3}>\sqrt[4]{4}}}$

Existem outros métodos de provar que raiz cúbica de 3 é maior que raiz quarta de 4, mas esse surgiu na minha cabeça. Se eu pensar em um mais fácil, edito a resposta