Question

Resolva a equação diferencial y'(x) + ycosx = 0 por separação de variáveis.




y(x) = esenx






y(x) = C/esenx


y(x) = C/ecosx




y(x) = C/ex


y(x) = C.esenx

Answer 1

A notação y' pode escrita da seguinte forma:

$y'=\frac{dy}{dx}$

Sendo assim, em y' + ycos(x) = 0, temos que:

$\frac{dy}{dx}+ycos(x)=0$

Separando o y do x:

$\frac{dy}{dx} = -ycos(x)$

$\frac{dy}{y}=-cos(x)dx$

Para resolver a equação diferencial separável acima, precisamos integrar ambos os lados da equação.

Assim,

$\int\frac{dy}{y}=-\int cos(x)dx$

Integrando:

ln(y) = -sen(x) + c

Para isolar o y, precisamos recordar a seguinte propriedade de logaritmo:

$e^{ln(x)}=x$

Logo,

$y = e^{-sen(x)+c}$

$y=e^{-sen(x)}.c_1$ → essa é a solução geral da equação y' + ycos(x) = 0.