Question

A equação diferencial y" + 4y' + 3y = 0 tem solução geral y (t) = C1e-t + C2e-3t . Determine a solução particular considerando as condições iniciais y(0) = 2 e y'(0) = -1.

y(t) = 2e-t + 5e-3t
y(t) = (-1/3)e-t - (5/2) e-3t
y(t) = (5/2)e-t - (1/2) e-3t
y(t) = -5e-t + e-3t
y(t) = (-3/2)e-t + (7/2) e-3t

Answer 1

Para encontrarmos a solução particular, basta substituirmos as condições iniciais na solução geral que foi fornecida. Usando cada uma delas:

$y(t) = C_1e^{-t}+C_2e^{-3t}\\\\\\ \bullet~y(0)=2:\\\\ y(0) = C_1e^{-0}+C_2e^{-3\cdot0}\\\\ 2 = C_1\cdot1+C_2\cdot1\\\\ 2 = C_1 + C_2~~~(i)\\\\\\ \bullet~y'(0)=-1:\\\\ y'(t) = -C_1e^{-t}-3C_2e^{-3t}\\\\ y'(0) = -C_1e^{-0}-3C_2e^{-3\cdot0}\\\\ -1 = -C_1\cdot1-3C_2\cdot1\\\\ -1 = -C_1-3C_2~~~(ii)$

Somando as equações (i) e (ii), obtemos:

$\begin{cases}2 = C_1 + C_2\\-1 = -C_1-3C_2\end{cases}+\\ \underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}\\ ~~~~1 = 0C_1-2C_2\Longrightarrow \boxed{C_2=-\dfrac{1}{2}}\Longrightarrow \boxed{C_1=\dfrac{5}{2}}$

Assim, a solução particular é:

$\boxed{y(t) = \dfrac{5}{2}e^{-t}-\dfrac{1}{2}e^{-3t}}$

Portanto, a alternativa correta é a letra C.

Answer 2

Resposta:c

Explicação passo a passo: