Question

Considere 24 pagamentos mensais iguais a R$20.000,00, a iniciarem-se daqui a 30 dias. Determine o valor mais próximo do valor presente da série considerando que a taxa de juro é igual a Considere 24 pagamentos mensais iguais a R$20.000,00, a iniciarem-se daqui a 30 dias. Determine
o valor mais próximo do valor presente da série considerando que a taxa de juro é igual a 18% ao ano.% ao ano.

Answer 1

Faltaram as alternativas dessa questão. Adiciono abaixo o enunciado de maneira completa. Depois, segue a resposta.

Considere 24 pagamentos mensais iguais a R$20.000,00, a iniciarem-se daqui a 30 dias. Determine o valor do valor presente da série considerando que a taxa de juro é igual a 18% ao ano.

Escolha uma alternativa:

1. R$ 380.432,08
2. R$ 375.754,56
3. R$ 456.636.03
4. R$ 420.123,06
5. R$ 405.827,82

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Temos um caso de Séries ou Sequências Uniformes, ou seja, temos um caso de financiamento a ser pago por parcelas (PMT) iguais ao longo de um período (n). Para esse tipo de cálculo é fundamental observar quando será feito o primeiro pagamento, pois:

• se o pagamento for feito no início do financiamento (como uma "entrada"), trata-se de uma Série Uniforme Antecipada - que não é o caso.
• se o pagamento for feito depois de um determinado período do financiamento (sem uma "entrada"), trata-se de uma Série Uniforme Postecipada - como é o caso atual.

Para o cálculo do Valor Presente em uma Série Uniforme Postecipada, podemos usar a seguinte fórmula:

$\mathsf{PV=PMT\cdot\dfrac{(1+i)^n-1}{(1+i)^n\cdot i}}$

Onde:

PV: valor presente, o que queremos descobrir;

PMT: valor das parcelas, 20.000;

i: taxa de juros, teremos que encontrar uma taxa equivalente;

n: número de parcelas, 24.

Para encontrar a taxa equivalente, podemos usar a seguinte relação:

$\mathsf{(1+i_a)=(1+i_m)^{12}}$

Onde a taxa do lado esquerdo refere-se a taxa anual e a do lado direito a taxa mensal. Dessa relação podemos fazer a seguinte articulação:

$\mathsf{(1+i_a)=(1+i_m)^{12}}\\\\ \mathsf{\sqrt[12]{1+i_a}=1+i_m}\\\\ \mathsf{i_m=\sqrt[12]{1+i_a}-1}$

Contextualizado ao caso do enunciado, que tem uma taxa de 18% ao ano (0,18), podemos usar da ajuda de uma calculadora. Teremos:

$\mathsf{i_m=\sqrt[12]{1+i_a}-1}\\\\ \mathsf{i_m=\sqrt[12]{1+0,18}-1}\\\\ \mathsf{i_m=\sqrt[12]{1,18}-1}\\\\ \mathsf{i_m=1,0138884303...-1}\\\\ \mathsf{i_m=\underline{\mathsf{0,0138884303...}}}$

Aplicando na fórmula, teremos:

$\mathsf{PV=PMT\cdot\dfrac{(1+i)^n-1}{(1+i)^n\cdot i}}\\\\\\ \mathsf{PV=20.000\cdot\dfrac{(1+0,0138884303...)^{24}-1}{(1+0,0138884303...)^{24}\cdot0,0138884303...}}\\\\\\ \mathsf{PV=20.000\cdot\dfrac{(1,0138884303...)^{24}-1}{(1,0138884303...)^{24}\cdot0,0138884303...}}\\\\\\ \mathsf{PV=20.000\cdot\dfrac{1,3924000000...-1}{1,3924000000...\cdot0,0138884303...}}\\\\\\ \mathsf{PV=20.000\cdot\dfrac{0,3924000000...}{0,0193382504...}}\\\\\\ \mathsf{PV=20.000\cdot20,2913909757...}\\\\\\ \mathsf{PV=405.827,8195141030...\approxeq\underline{\mathsf{405.827,82}}}$

Como demonstrado, o valor mais próximo do valor presente é R$405.827,82. A resposta correta está na última alternativa.