Question

As transformações lineares são procedimentos de cálculo da álgebra linear que vinculam dois espaços vetoriais. É importante salientar que, não é importante neste procedimento provar que os espaços trabalhados são vetoriais, já presumimos que eles são espaços vetoriais. Estamos interessados apenas no fato de a transformação que os vincula conservar suas operações básicas.

Texto elaborado pelo Professor, 2018.

Answer 1

Olá,

Segue a definição de transformação linear:

Sejam V e W espaços vetoriais. Diz-se que T: V → W é uma transformação linear se satisfaz as duas propriedades a seguir:

1. Para quaisquer u,v ∈ U: T(u+v) = T(u) + T(v).
2. Para qualquer k ∈ R e qualquer v ∈ U: T(kv) = k · T(v).

Vamos verificar se as aplicações dadas são transformações lineares:

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I e II. T: R → R³, T(x) = (-x,0,0)

1. Sejam u,v ∈ R: T(u+v) = (-u-v,0,0) = (-u, 0, 0) + (-v, 0, 0) = T(u) + T(v).
2. Sejam k ∈ R e v ∈ R: T(kv) = (-kv, 0, 0) = k(-v, 0, 0) = k · T(v).

Note que as duas condições são satisfeitas, portanto T é uma transformação linear e a afirmação I é falsa. A afirmação II diz que T é uma transformação linear, logo a afirmação II é verdadeira.

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III. T: R² → R, T(x, y) = x² + y

1. Sejam (u,v), (p,q) ∈ R²: T((u,v)+(p,q)) =  T(u+p, v+q) = (u+p)² + v + q  = u² + 2up + p² + v + q ≠ u² + v + p² + q = T(u,v) + T(p,q)

Note que a condição não é satisfeita, portanto T não é uma transformação linear e a afirmação III é falsa.

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IV. T: R² → R, T(x, y) = x + y²

1. Sejam (u,v), (p,q) ∈ R²: T((u,v)+(p,q)) =  T(u+p, v+q) = u + p + (v + q)²  = u + p + v² + 2vq + q² ≠ u + v² + p + q² = T(u,v) + T(p,q)

Note que a condição não é satisfeita, portanto T não é uma transformação linear e a afirmação IV é verdadeira.

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Portanto, estão corretas as afirmações II e IV.

Qualquer dúvida, basta comentar. Espero ter ajudado. =D