Question

Considerando os conhecimentos obtidos sobre transformações lineares e suas matrizes representativas, autovalores e autovetores, considere o caso abaixo e julgue as afirmações feitas sobre ele:

Texto elaborado pelo Professor, 2018

Afirmações:

I) O valor “1” é autovalor da matriz A, que representa uma transformação.
II) O valor “2” é autovalor da matriz A, que representa a transformação.
II) O valor “3” é autovalor da matriz A, que representa a transformação.
IV) O “eixo x”, ou seja, (1, 0, 0) é um dos autovetores relativo a essa matriz.

Estão corretas:

Answer 1

Primeiramente, vamos calcular o polinômio característico da matriz A:

$p(x)=det\left[\begin{array}{ccc}x-3&0&0\\0&x-3&-2\\0&1&x\end{array}\right]$

p(x) = (x - 3)((x - 3)x + 2)

p(x) = (x - 3)(x² - 3x + 2)

Sabemos que x² - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1).

Então,

p(x) = (x - 3)(x - 2)(x - 1)

Assim, x₁ = 1, x₂ = 2 e x₃ = 3 são os autovalores da matriz A.

Logo, as afirmativas I, II e III estão corretas.

Substituindo x₃ em $\left[\begin{array}{ccc}x-3&0&0\\0&x-3&-2\\0&1&x\end{array}\right]$ encontramos o seguinte sistema:

{-2z = 0

{y + 3z = 0

Ou seja, y = 0 e z = 0.

Assim, temos que u = (x, 0, 0) = x(1, 0, 0) é um autovetor da matriz A.

Portanto, a afirmativa IV também está correta.