Question

As casas de um condomínio estão distribuídas ao longo de três grandes avenidas retilíneas: A1, A2 e A3. No plano cartesiano, que é uma escala de 1:2000, estão representadas as posições dessas avenidas. Da avenida A1 para A3 vemos 45 graus. A origem desse sistema representa uma rotatória que dá acesso às três avenidas.
Dois irmãos possuem casas nesse condomínio, indicadas respectivamente, pelos pontos F(4,0) e G, que distam 100 metros uma da outra. No ponto P(-3,1) está representada a piscina do condomínio.
Sabe-se que a unidade de medida é o centímetro.
a) Determine as coordenadas do ponto G.b) Determine a distância real entre a casa de cada um dos irmãos e a piscina. Use as aproximações: raiz de 2= 1,4 e raiz de 13= 3,6.c) Um grande amigo dos irmãos planeja comprar uma casa, na avenida 3, que diste igualmente da casa dos dois irmãos. Em que ponto do plano estaria essa casa?
DADOS: consta um plano cartesiano com ângulo de 45º no 1º quadrante (reta crescente que representa a avenida 3)
*EIXO DAS ORDENADAS: avenida 2 (ponto G presente nela)
EIXO DAS ABSCISSAS: avenida 1 (ponto F presente nela)
ponto O: origem
ponto P: 2º quadrante

Answer 1

a) Primeiramente, colocamos a medida da distância de F a G (100 m) em escala. 100 m = 10000 cm

Escala 1:2000

1 cm ------------ 2000 cm

x ---------------- 10000 m

x = 10000 / 2000

x = 5

Então, no mapa, a distância de F a G é de 5 cm.

Pela figura, temos um triângulo retângulo. Usando o Teorema de Pitágoras, temos:

x² + 4² = 5²

x² + 16 = 25

x² = 25 - 16

x² = 9

x = √9

x = 3 cm

Portanto, G está a 3 cm do ponto 0. Logo, sua coordenada é:

G(0, 3) [resposta]

b) Representarei a distância da casa de Fábio (F) à piscina (P) por a.

Assim, utilizando Pitágoras, temos:

a² = 1² + 7²

a² = 1 + 49

a² = 50

a = √50

a = 5√2

a = 5.(1,4)

a = 7 cm

Para colocar em medida real, multiplicamos esse valor por 2000.

7·2000 = 14000 cm ou 140 m

Da casa de Fábio à piscina são 140 m.

Representarei a distância da casa de Gabriel (G) à piscina (P) por b.

Assim, utilizando Pitágoras, temos:

b² = 2² + 3²

b² = 4 + 9

b² = 13

b = √13

b = 3,6 cm

Para colocar em medida real, multiplicamos esse valor por 2000.

3,6·2000 = 7200 cm ou 72 m

Da casa de Gabriel até a piscina são 72 m.

c) Como a Avenida 3 é a bissetriz do quadrante, ela corta o segmento FG na metade. Portanto, a casa do amigo deve ficar no ponto de cruzamento desses segmentos para ter a mesma distância de F e de G.

O que temos que fazer agora, é achar a altura dos triângulos isósceles formados, pois essas alturas serão as coordenadas do ponto C.

Como o triângulo FGH está cortado ao meio, os triângulos menores têm a mesma área, que é a metade da área de FGH, logo:

A(FGH) = 4×3/2

A(FGH) = 6 cm²

A(FCH) = A(GCH) = A(FGH)/2

A(FCH) = A(GCH) = 6/2

A(FCH) = A(GCH) = 3 cm²

A(FCH) = b×h/2

h(FCH) = 2.A(FVH)/b

h(FCH) = 2.3/4

h(FCH) = 1,5 cm

h(FGH) = 2.A(FVH)/b

h(FGH) = 2.3/3

h(FGH) = 2 cm

Portanto, as coordenadas do ponto C são:

C(2, 1,5) [resposta]