Question

A circunferência de centro em(2,0)e tangente ao eixo y e interceptada pela circunferência C,definida pela equação x2+y2=4,É pela semi-reta que parte da origem e faz ângulo de 30°com o eixo x?

Answer 1

Completando a questão:

...conforme a figura a  seguir.

a) Determine as coordenadas do ponto P.

b) Calcule a área da região sombreada.

Solução.

a) Primeiramente, vamos calcular a equação da reta que passa pela origem e possui inclinação igual a 30°.

Como a reta passa pela origem, então a mesma é da forma y = ax.

O coeficiente angular "a" é calculado fazendo a tangente do ângulo, ou seja,

a = tg(30)

$a = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Assim, $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$

Agora, vamos escrever a equação da circunferência de centro no ponto (2,0).

Como a circunferência é tangente ao eixo y, então o raio é igual a 2.

Logo, (x - 2)² + y² = 4

Substituindo a reta na equação da circunferência:

$x^2-4x+4+\frac{3x^2}{9}=4$

9x² - 36x + 36 + 3x² = 36

12x² - 36x = 0

12x(x - 3) = 0

x = 0 ou x = 3.

Como o ponto P não está sob o eixo y, então x = 3 e y = √3.

Portanto, P = (3,√3).

b) Para calcular a área sombreada, observe a figura abaixo.

A área sombreada é igual a área da circunferência menos a área de interseção entre as duas circunferências.

A área da interseção é igual a:

$A' = 4(\frac{\pi 2^2.60}{360}-\frac{2^2\sqrt{3}}{4})+2.\frac{2^2\sqrt{3}}{4}$

$A'=4(\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3})+2\sqrt{3}$

$A'=\frac{8\pi}{3}-2\sqrt{3}$

Portanto, a área sombreada é igual a:

$A = 4\pi -\frac{8\pi}{3}+2\sqrt{3}$

$A = \frac{4\pi}{3}+2\sqrt{3}$