Os vetores v ≥ 0 para os quais existe um determinado valor que resolve a equação abaixo são chamados de autovetores da matriz A e os valores que conjuntamente com v resolvem a equação são chamados de autovalores da matriz A associados aos respectivos autovetores.
O polinômio de grau “n” resultante deste procedimento é conhecido como polinômio característico. As raízes do polinômio característico são os autovalores da matriz A.
UNICAMP (Adaptado), 2018.
Julgue as afirmações abaixo:
Estão corretas:
Alternativa 1: I e II, apenas.
Alternativa 2: II e III, apenas.
Alternativa 3: I, II, III e IV.
Alternativa 4: II, III e IV, apenas.
Alternativa 5: III e IV, apenas.
Respostas
Vamos calcular o polinômio característico de cada matriz:
I)
p(x) = (x - 1)² - 2
p(x) = x² - 2x + 1 - 2
p(x) = x² - 2x - 1
p(x) = (x - (1 - √2))(x - (1 + √2))
Os autovalores são 1 - √2 e 1 + √2. A afirmativa está errada.
II)
p(x) = (x - 1)²
O autovalor é 1. A afirmativa está correta.
III)
p(x) = (x - 1)(x + 3) - 1
p(x) = x² + 3x - x - 3 - 1
p(x) = x² + 2x - 4
p(x) = (x - (-1 - √5))(x - (√5 - 1))
Os autovalores são: -1 - √5 e √5 - 1. A afirmativa está errada.
IV)
p(x) = (x - 1)² - 4
p(x) = x² - 2x + 1 - 4
p(x) = x² - 2x - 3
p(x) = (x + 1)(x - 3)
Os autovalores são -1 e 3. A afirmativa está correta.
Verifique se as alternativas estão corretas.
Resposta:
NÃO TEM ESTA OPÇÃO, APENAS
Alternativas
Alternativa 1:
I e II, apenas.
Alternativa 2:
II e III, apenas.
Alternativa 3:
I, II, III e IV.
Alternativa 4:
II, III e IV, apenas.
Alternativa 5:
III e IV, apenas.