Question

Sobre a curva 9x2 + 25y2 - 36x + 50y - 164 = 0, assinale a alternativa correta

[A] Seu centro é (-2,1).
[B] A medida do seu eixo maior é 25.
[C] A medida do seu eixo menor é 9.
[D] A distância focal é 4.
[E] Sua excentricidade é 0,8.

Answer 1

Primeiramente, vamos completar quadrado para saber qual é a curva representada por 9x² + 25y² - 36x + 50y - 164 = 0:

9(x² - 4x + 4) + 25(y² + 2y + 1) = 164 + 36 + 25

9(x - 2)² + 25(y + 1)² = 225

$\frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y+1)^2}{9}=1$

Temos aqui uma elipse.

Assim:

a) A alternativa está errada, pois o centro é (2,-1).

b) O eixo maior da elipse é igual a 2a. Como a = 5, então o eixo maior mede 10. A alternativa está errada.

c) O eixo menor da elipse mede 2b. Como b = 3, então o eixo menor mede 6. A alternativa está errada.

d) Os focos da elipse são: (-2,-1) e (6,-1). Logo, a distância focal é igual a 8. A alternativa está errada.

e) A excentricidade da elipse é igual a: $e=\frac{c}{a}$.

Como a = 5 e b = 3, temos que:

c² = a² - b²

c² = 25 - 9

c² = 16

c = 4

Assim, e = 0,8.

A alternativa está correta.

Answer 2

Resposta:

Sua excentricidade é 0,8.

Explicação passo-a-passo:

Resolução com gráfico em https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_23.html

9x^2+ 25y^2–36x+50y–164=0 => 9x^2-36x+25y^2+50y=164 Gráfico

9x^2-36x=>9(x^2-4x)=>(x+a)^2=>x^2+2ax+a^2=>2ax=-4x=>a=-2=>9(x-2)^2=>9(x^2-4x+4)=> 9x^2-36x+36

25y^2+50y=>25(y^2+2y)=>(y+b)^2=>y^2+2by+b^2=>2by=2y=>b=1=>25(y+1)^2=>25(y^2+2y+1)=>25y^2+50y+25.  

9(x-2)^2+25(y+1)^2=164+36+25=>9(x-2)^2+25(y+1)^2=225. Centro C=(+2,-1),   Gráfico.

A elipse tem dois eixos abscissas e ordenadas, que tem um ponto em comum o centro, Assim o eixo x, teremos a reta y=-1, e o eixo y, teremos a reta x=+2.

A intersecção da elipse com eixo y=-1, o delimitará.

9(x-2)^2+25(-1+1)^2=225 => x^2-4x+4=225/9 =>  x=+7, x’=-3 => xa=(+7,-1), xb=(-3,-1)

d=(+7-(-3) => dx=10, Eixo abscissa=+ 10

A intersecção da elipse com eixo x=+2, o delimitará.

9(+2-2)^2+25(y+1)^2=225=>y^2+2y+1=225/25 =>y^2+2y-8=0 y=+2, y’=-4 =>ya(+2,+2, yb=(+2,-4)

d=+2-(-4)=> dy=+6=. Eixo da ordenada = +6.

Distância Focal

(dx/2)^2=(dy/2)^2+(c/2)^2 => (10/2)^2=(6/2)^2+c^2/4 => 25=9+c^2/4 => 100-36=c^2 =>

c^2=64 => /c/=+/-8 => c=+8. A distância focal 8. O foco está no eixo maior (referência) na reta y=+1, equidistante +/-4 do centro,assim o F1=(+6,-1) e F2=(-2,-1)

Excentricidade= distância focal / eixo referência => +8/10 = Excentricidade= 0.8, adimensional, pois temos a razão de duas unidade de distância.